數星星的人

美國歌手唐·麥克林說梵谷是一個畫星星的人：「繁星點點的夜晚，把你的調色盤畫成藍灰色」，但是這個世界上也有數星星的人，例如：「數學女孩」尤里說：「哥哥，好漂亮啊！」「是啊！數不清有多少顆」，「有人說它像一條大河，也有人說它像一片牛奶流淌後留下的痕跡—這白茫茫的一片究竟是什麼東西，你們知道嗎？」（宮澤賢治「銀河鐵道之夜」）。

地球所在的銀河有 10^11 顆星星，宇宙有 10^24 個銀河，大腦皮質中有 10^14 個神經突觸的連結。這樣大的數目遠遠超過我們所學的數字：個（10^0）、十（10^1）、百（10^2）、千（10^3）、萬（10^4）、億（10^8）、兆（10^12），但是印度人對數字的概念更讓人瞠目結舌：恆河沙數（10^52）、阿僧祇（10^104）、那由他（10^ 112）、不可思議（10^120）、 無量大數（10^128）等。

西洋棋有 64 格，在第ㄧ格放入ㄧ粒麥子，第二格放入二粒麥子，第三格放入四粒麥子，以此類推，所需麥子的數目是 10^19，這比全世界 2000 年所生產麥子的總和還多，而圍棋棋子的擺放位置更多：有10^170種可能性，這比整個宇宙中基本粒子的數目（10^80）更多（宇宙的年紀是 1.3 x 10^10 年，可觀察宇宙的大小是 10^26 公尺，總質量是10^60 公斤）。據說 Google 名稱的由來是 googol （10^100）的筆誤，但是這一些數字無論多麼大都是有限的。

無限只是一個觀念，而不是一個數字。至於無限是否是真實存在的或只是人類的想像而已則是一個爭論不休的議題：德國數學家高斯 (發現常態分佈)說:「無限只是幫助我們認識極限的抽象觀念而已，數學上並沒有真正的無限」，但是發明「集合論」和現代無限觀念的德國數學家康托爾說：「害怕無限的人是近視的，這讓他們無法看見真實，即使我們本身是無限形成的，而無限的世界也讓我們能夠存活，甚至我們的心智也能想像無限」、「無限有三種：第一種是絕對無限，也就是神；第二種是物理世界；第三種是數學無限」。

在無限的王國裏，你會覺得「越來越奇怪了！」（「愛麗絲夢遊記」），例如：

無限有兩種：有界無限（例如：地球的表面，有上、下界的數字集合）、無界無限。

總機率是 1，連續分佈數字（例如：常態分佈）中任何一個特定數字的機率是零，例如：平均值是 60 的常態分佈中數字 60 的機率是零，因為任何數字除以無限都等於零，例如：命運輪盤的面積是 1，假設射中大獎的面積是 1/20，那麼大獎的機率是 0.05；假設輪盤分割成無數個無窮小的點，那麼射中任一個點的機率是零，因為如果不是零，那麼無數個非零數字的總和等於無限。

「有ㄧ些無限比其他的無限大」(「生命中美好的缺憾」)：自然數（正整數）集合的大小和奇數、偶數、整數（正整數 + 零+ 負整數）、有理數都是一樣的，因為自然數集合的每一個元素都能與其他集合的元素用對角論證法ㄧㄧ對應，因此有理數是可數無限集合。

無理數和實數都是不可數無限集合，因為它們有無數個元素無法與自然數集合的元素ㄧㄧ對應。

有理數（能表達為兩個整數比的數，包括：自然數、整數、有限小數、無限循環小數）在實數線（有理數加無理數）中佔據位置的大小是零。

無理數是比有理數大的無限：任何兩個有理數中間都有無限多的無理數（不能表達為兩個整數比的數，也就是無限不循環小數）；但是任何兩個無理數中間也有無限多的有理數。

在無限集合裏，「全體大於部分」是錯誤的：有上、下界的數字（自然數、有理數、實數）集合大小和該全體數字集合大小是一樣的。

無限加、減、乘、除任何（非零的）數字等於無限。

「聽說看夜空的人分成兩種：『數星星的人』和『畫星座的人』，哥哥你屬於哪種？」（「數學女孩」）。上帝、國王和商人都是數星星的人：「祂數星星的數目，祂為她們命名」（聖經），「國王數星星因為那是他的臣民，商人數星星以便擁有她們」（小王子）。

「今夜星光燦爛」，「為了藝術為了愛」（歌劇「托斯卡」），且讓我們數星星吧！一顆、兩顆、三顆...