兔子洞裏的幾何學

1862 年的某個夏日，英國數學家查爾斯·道奇森（筆名路易斯·卡羅）及友人的女兒們（包括愛麗絲）泛舟於泰晤士河上，她們要求他說荒誕的故事，他就為她們說了「愛麗絲夢遊仙境」和「愛麗絲鏡中奇遇」。

終身未婚的道奇森喜歡兒童，他會請孩子們喝下午茶，送他們小玩具，跟他們一塊兒做遊戲。他有著「身體不勻稱」和行走不便、說話口吃的毛病。他「嚴厲、羞澀、謙遜、禮貌、謹慎、精確，沉溺於對數學的幻想中，在政治、邏輯以及社會上極端地保守，生活就像愛麗絲夢境中的廣場一般」，他可以為了插畫中愛麗絲的裙子上少了一道線條和插畫師理論到底。他的一名學生說他「永遠也猜不到那個上課超級無味、馬馬虎虎、毫無魅力的老師，竟然從他的腦子裡孵化出這樣充滿幻想、樂趣的神奇故事」。

「夢遊仙境」說當無聊的愛麗絲瞄到姐姐的書只有文字而沒有圖和對話的時候說：「一本沒有圖的書能有什麼用處呢？」，這時候她看見一隻掏出懷錶看時間的兔子慌張地說：「來不及了！來不及了！」，接著她就掉進了一個兔子洞裏，一路上她遇見了紙牌的紅國王和紅皇后以及許多怪事，在法庭上小白兔問國王:「我要從那裏開始?」「從開始處開始，到盡頭處停止」，最後皇后要砍她的頭，她卻說：「你們不過就是一堆紙牌！」

「鏡中奇遇」說：「故事開始在很久以前，夏日的艷陽在天空中放著熾熱的光，從遠處傳來一陣平凡的鐘響，伴著我們在水中泛舟，...愛麗絲穿越了鏡子，從田野的這頭到那頭有很多筆直的小溪流過，而且兩道小溪之間又被綠色的樹籬分成了好多塊，樹籬都很長，從這條小溪一直延伸到那條小溪，...就好像棋盤一樣，...矮胖子兄弟是不是只是愛麗絲想像的人物？愛麗絲是不是只是紅國王夢裡的想像？那麼究竟是她還是紅國王在作夢呢？... 一個七月的晚上，晚霞中有一條小船，夢一樣地向前飄蕩。三個孩子靠在一起，他們目光急切，耳朵樹立，簡單的故事聽得他們那樣歡喜，...生命不就是一場夢嗎？」

傳統數學和現實世界有緊密的連結，例如：一般人認為的「空間」是「歐幾里得空間」，它是事物發生的舞台，它是固定不變且是永恆、無限的，而三維空間中的每個點由三個坐標確定。但是這個連結被 19 世紀時數學翻天覆地的變化給打破了：抽象代數、射影幾何、非歐幾何（沒有歐幾里得第五公設《平行公設》的幾何學）、虛數等。道奇森（一個「固執、保守的數學家」）對此覺得難以接受，因此他利用這兩本童書加以諷刺，例如：愛麗絲喝了水身體變小時緊張地以為她會一直縮小到像蠟燭燒完般地消失不見，就像虛數一樣，而消失不見的咧嘴笑的柴郡貓是真實的嗎？

幾何學是研究圖形的學問（「人生幾何學幾何，學了幾何又幾何？」），它度量空間中圖形（點、線、面、體）的形狀、大小（長度、面積、體積）、角度、距離和移動（平移、旋轉、波動、對稱等）。傳統幾何學研究圖形和現實世界之間的關連（柏拉圖學院的大門上寫著：「不懂幾何學者勿入此門」），「愛麗絲夢遊記」和「愛麗絲鏡中奇遇」則描述圖形和抽象（虛擬）世界之間的關連。

幾何學的關鍵之一是不變的比率，在「夢遊仙境」中愛麗絲身體的大小和比率發生了許多次變化，毛毛蟲問愛麗絲：「妳是誰？」「我不知道！我已經不是我自己了！我在一天內體型變化了許多次，讓我覺得很困惑！」「並不會！只要妳能維持身體的比率不變！」接著她吞了一口蘑菇，脖子就變長了，最後她又吞了幾口另一邊的蘑菇，她的身體總算恢復正常的比率了

「射影幾何」研究在投影變換下不變的幾何性質，例如：透視圖的平行線可以在無窮遠點上交會、圖形在投影時可以逐漸變成另外的樣子，例如：圓、橢圓、拋物線、雙曲線等圓錐截面，「夢遊仙境」的咧嘴笑的柴郡貓變成一條曲線，「鏡中奇遇」中當愛麗絲把公爵夫人的嬰兒抱到外面時，嬰兒變成一隻圓滾滾的小豬。

兔子洞裏的幾何學是真實的嗎？「如果我不是真的，那我怎麼會哭呢？」（「愛麗絲鏡中奇遇」）

「原力的覺醒」

「很久以前，在一個遙遠的銀河系...原力給予絕地力量。它是所有生物創造的一個能量場，包圍並滲透著我們，有著凝聚整個星系的能量」（電影「星際大戰」），原力就是能量。

我們以為物質和能量是不同的，事實上每一個人都只是能量而已（一個體重 60 公斤的人擁有 5.4 x 10^18 焦耳的能量）。所有的物質都是由原子形成的，物質的質量來自於原子核（質子、中子）和電子，而質量的 1% 來自於基本粒子與「上帝粒子（希格斯玻色子）」的互動，就像是在經過糖蜜時速度會變慢一樣，99% 來自於膠子（一種玻色子）的能量（m = E/c^2），可見質量的本質就是能量。

如果原子是一個足球場，那麼原子核就是中央的一顆綠豆，而電子雲圍繞著原子核跳舞，所以原子的 99.999999999999% 是空的（禪宗六祖惠能：「菩提本無樹，明鏡亦非台」）。既然原子大部分是空的，那麼為什麼你的手不能穿越桌子，而且桌子看起來不是透明的而是具有顏色的呢？

「包立不相容原理」說兩個全同的費米子不能處於相同的量子態，亦即不同的電子不能處於同一個軌域。當你的手碰觸桌子時，手上原子的電子無法佔據桌子原子的低能階軌道，因爲它們已經被桌子本身的電子佔據了，從而需要極大的能量才能佔據高能階，因此你會感覺到桌子的推力。

可見光的波長是原子大小的 1000 倍，因此桌子看起來不是透明的，而我們看見的物質顏色是由物質反射的光波決定的：大的波長放出（低能量的）紅光，小的波長放出（高能量的）藍光（例如：「星際大戰」中酷炫的光劍是藍色的）。當電子由低能階瞬間「量子跳躍」至高能階時會吸收能量，相反的當電子由高能階跳躍至低能階時會以光的形式釋放能量，這一些舉動賦予了物質「顏色」，難怪佛經說：「色即是空，空即是色」。

「能量守恆定律」說能量不能生成，也不能摧毀，但它能夠改變形式。「西遊記」裏的孫悟空和二郎神鬥了三百多回合後，「悟空變成麻雀，二郎就變個餓鷹；悟空變成一條魚，二郎就變個魚鷹；悟空變成一條水蛇，二郎就變一隻灰鶴；悟空變成一隻花鴇，二郎就用彈弓把他打個正著」、「我是一首永不止息的歌，我是家人與好友之間的愛，我是一個孩子，回到父親溫暖的臂彎；我是白雪上閃耀的光芒，我是金黃稻穗上映照的陽光，我是輕柔的秋雨，我是盤旋的飛鳥，我是夜空中閃亮的星辰，我是夕陽的溫暖，我已化為千風」（「化為千風」）。

「銀河鐵道之夜」說：「那小而美麗的火車穿梭在翻飛于風中的天之芒草里，飛奔過銀河之水及三角標的藍白微光，然後就那麼永無止境地一直奔跑下去」、「如果你手中拿著能前往任何地方的車票，你覺得真正的幸福會在哪裡？」，我覺得真正的幸福會在充滿原力的宇宙，在那裏你會聽見「星際大戰」裏的莉亞公主對你說：「願原力與你同在！」。

「在每一個夢醒時分，有些事情你現在不必問」（「夢醒時分」），因為「原力的覺醒」會讓你猛然發現「一切有為法，如夢幻泡影，如露亦如電」（佛經）。

「一場遊戲一場夢」

我在高中學到二次跟三次多項式的解有虛數根（√-1）時嚇了一跳，覺得很難接受虛數存在的事實，也不知道虛數有什麼實際的意義跟用處。

數字是一個用作計數、計算、標記或用作量度同質或同屬性事物的符號。其中正整數是自然數，因為人們認為正整數（例如：一隻羊、兩隻羊）是真實存在的。但是在過去一段很長的時間裏，人們認為零並不是真實的，而且零（虛無、空）這一個觀念曾經「動搖了西方哲學、科學、數學及宗教的基礎」（「零的故事」）。整數是正整數 + 0 + 負整數，「上帝創造了整數，其餘都是人做的工作」（德國數學家克羅內克）。

有理數是整數的分數，也可以表示為有限小數或無限循環小數。我們可以從有理數的名字知道它的大小（例如：3/4 > 2/3）。有理數是可數無限集合，其大小（元素個數）和自然數一樣，因為每一個有理數都能（用康托爾的「對角法」）和自然數一一對應。每一個人都經驗過自然數和分數，因此有理數是真實存在的，而且每一個有理數都有名字（例如：1，2，2/3）。

無理數是不能表示為整數的分數的數（例如：√2，π），也可以表示為無限不循環小數。我們不能從無理數的名字知道它的大小，只能從它有理數的近似值知道它的大小。無理數是不可數無限集合，它的個數比有理數多很多。有人認為無理數並不是真實存在的（例如：沒有人經驗過 √2），而且大部分的無理數並沒有名字。實數是有理數 + 無理數。

虛數（「想像的數字」）這個輕蔑的名字是笛卡兒命名的，因為他認為虛數並不是真實存在的數字。此後數百年來她受到了人們的誤解和討厭，「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物」（萊布尼茲）。複數是 a+ bi 形式的數，其中 a 和 b 是實數，i 是虛數（√-1）。實數線（X 軸）和虛數線（Y 軸）構成了複數平面。實數是 X 軸上的純量，複數是平面上的向量；虛數是實數部分為 0 的複數，也是負數的平方根。「連結實數世界裏兩個真理最短的路徑是通過虛數」（法國數學家阿達馬），例如：虛數能應用在把地球畫成平面的地圖，也能應用在描述相對論彎曲時空的黎曼空間。

那麼物質是真實的嗎？所有的物質都是由原子形成的，如果原子是一個足球場，那麼原子核就是中央的一顆綠豆，所以原子的 99.9999999% 是空的。那麼為什麼一張桌子也會變得堅實？是因為舞動的電子，讓它感覺堅實。「物質（基本粒子）並不是真實的：它們是只能用數學描述的物件和形狀」（發現「測不準原理」的海森堡）。「一切有為法 ，如夢幻泡影，如露亦如電，應作如是觀」（佛經），「菩提本無樹，明鏡亦非台」（禪宗六祖惠能），「假作真時真亦假，無為有處有還無」(「紅樓夢」)。

所有的原子都是由基本粒子形成的，基本粒子都具有「波粒二象性」（當你不看她時，她是波，當你看她時，她是粒子）和物質波（由薛丁格方程式所描述）。有趣的是薛丁格方程式中有虛數，而玻恩認為波函數是一種機率振幅，代表基本粒子的機率分佈，亦即物質波就是機率波。他說：「智力區分了可能和不可能，理性區分了合理和不合理，即使可能也可以是不合理的」、「在科學裏並沒有哲學意義上的正確道路，也沒有知識上的路標，我們只能在叢林裏面用嘗試錯誤走出一條路，並立下路標」、「我們所看見的每一個物件都有無數的外表，物質的意義就是這一些外表間不變的共同表徵」。

「數學，一個人類基於想像而非經驗發明的東西，怎麼能如此有效地解釋物理真實？」（愛因斯坦）。所有的數字都不能被感官知覺，所有的數字都不能被科學儀器測量，所有的模型都是用數字寫成的，那麼數字是真實的嗎？「我們用三個方法來判斷什麼是物理真實: 感官、科學儀器與模型 」（理查·道金斯：「現實的魔法：我們如何知道什麼是真的」）。「大自然這本書是用數學語言寫的」（伽利略）。「數學有一部分是被發現的，有一部分是被發明的」（「上帝是數學家嗎？」）。「如果我們把正數、負數和虛數改稱為直接數、反向數和側向數的話，我們對虛數難以接受的隱晦面就不復存在了」（高斯）。

「不要談什麼分離，我不會因為這樣而哭泣，那只是昨夜的一場夢而已。不要說願不願意，我不會因為這樣而在意，那只是昨夜的一場遊戲」（「一場遊戲一場夢」）：虛數的幾何意義是向量，虛數的物理意義是物質和空間的本質，虛數不只是一場遊戲一場夢。

對稱和美麗

「白雪公主」中的後母皇后說：「魔鏡啊～魔鏡！誰是世上最美麗的女人？」。鏡中的世界是左右對稱的，物理世界也是左右對稱的。

真實的世界是美麗的：「你是否聽見雪花打在窗格的聲音？小貓咪？那是多麼地輕柔！就像有人在外面輕吻著窗戶。我覺得雪花是出於喜愛才會輕吻樹木和田野，她為它們蓋上白色舒適的棉被，然後說：《睡吧！親愛的！》。當夏日來臨時，它們穿上綠色的衣服，在風中跳舞，那是多麼漂亮啊！」（「愛麗絲鏡中奇遇」）。鏡中的世界也是美麗的，而且鏡中的影像和真實的自己總是具有完全相同的性質，雖然是左右相反的。例如：當愛麗絲把鏡中世界的書放在鏡子前看時，她才能看清楚書中的一首詩，她說：「這首詩好像很美麗，但是很難了解」。

物理世界的對稱也是美麗的，例如：發現夸克的 1969 年諾貝爾物理學獎得主默里·蓋爾曼用「八重道（暗喻佛教的「八正道《正見、正思惟、正語、正業、正命、正精進、正念、正定》）」來解釋「味對稱」並預測「夸克」的存在（「夸克」是海鷗的叫聲）。他說：「美麗和優雅、簡潔的理論通常都是正確的，而簡潔是對稱的結果」。小矮人有七個，但是夸克只有六種風味：上夸克、下夸克、魅夸克、奇夸克、頂夸克、底夸克。夸克不能單獨存在，而會結合成強子，例如：質子（由二個上夸克和一個下夸克形成）、中子（由一個上夸克和二個下夸克形成）。

物理世界的對稱（不變性）和守恆定律之間的聯繫由德國女數學家艾米·諾特發現。例如：物理系統對於空間平移的對稱給出了「動量的守恆律」，對於轉動的對稱給出了「角動量的守恆律」，對於時間平移的對稱給出了「能量守恆定律」。自然界在巨觀上也具有「宇稱守恆」（左右對稱），亦即在鏡像轉換下事物的行為是不變的。

在宇宙的四種基本力（引力、電磁力、強核力、弱核力）中，前面三種力都有「宇稱守恆」。基本粒子都有自旋，「宇稱」是指一個粒子（例如：左旋）與它的「鏡像」粒子（例如：右旋）行為完全對稱。但是李政道與楊振寧於 1956 年時提出理論說（在微觀下）基本粒子的弱核力是「宇稱不守恆」（明顯對稱性破缺）的，例如：只有左旋的費米子（例如：夸克）會參予弱核力。諾貝爾物理學獎得主包立聽到以後驚訝地說：「我不相信上帝是個弱的左撇子。我準備拿一大筆錢打賭，實驗一定會得出對稱的結果」，結果吳健雄於 1957 年便證實了這個假設，李與楊於同年便獲得了諾貝爾物理學獎。

事實上對稱性破壞是事物不斷發展進化、變得豐富多彩的原因，例如：胺基酸分子都是左旋型的，但是葡萄糖和組成核酸的核糖和脫氧核糖分子卻都是右旋型的。：「宇宙的法則之一是沒有一件事物是完美的，如果這個世界是完美的，那麼你我就不會存在了」（史蒂芬.霍金），亦即不完美是物理世界的定律。

不完美也是人生的定律：「你不能不滿意，也不能失望」（德川家康），而且「美是上帝的禮物，沒有任何人臉、樹葉、樹枝是完全對稱的，因為他們在演化的過程中產生了不規則的改變。沒有不規則就沒有了努力的表現，也沒有了生機。所有的事物都因為不完美而變得更好、更可愛，因為不完美是神聖的」（約翰·羅斯金）。

黃金比例（神聖比例 ：1.618）是不對稱的美麗的一個例子。「宇宙之萬物，不論花草樹木，還是飛禽走獸，凡是符合黃金比例的總是最美的形體」（德國數學家阿道夫·蔡辛），例如：鸚鵡螺的內部結構、希臘的帕德嫩神廟（柱子以上的構造和建築高度的比率）、蒙娜麗莎（頭部和上半身的比率）、維納斯和大衛（肚擠以下的半身比率）等。

「王子統治一切，除了風」（雨果）：對稱統治一切，除了微小世界。「這是一個歡笑的世界，這是一個啼哭的世界，這是一個希望的世界，這是一個恐懼的世界。我們共享這麼多，我們應該知道這只是一個小小世界」（迪士尼「小小世界」）。「你愛某人，不是因為他完美；而是你愛某人，即使他不完美」（「姐姐的守護者」）：你愛這個小小世界，即使她不完美。

對稱（完美）是美麗的，不對稱（不完美）也是美麗的。

生命的故事

自從亞當與夏娃被逐出了伊甸園以後，人類就必須要自食其力了。但是沒有人喜歡沈重的負擔，例如聖經說：「凡勞苦擔重擔的人，可以到我這裡來，我就使你們得安息，...因為我的軛是容易的，我的擔子是輕省的」。

然而「生命中不能承受之輕」說：「最沉重的負擔壓垮我們，讓我們屈服，把我們壓倒在地。...負擔愈沉重，我們的生命就愈貼近地面，生命也就愈寫實也愈真實。相反的，完全沒有負擔會讓人的存在變得比空氣還輕，會讓人的存在飛起，遠離地面，遠離人世的存在」。

我們之所以能站在地面上是因為我們是由物質形成的，那麼物質是什麼呢？物質是具有質量的東西。愛因斯坦的公式（E = mc^2）說質能可以互相轉變，能量是動能加位能，那麼質量是什麼呢？所有的物質都是由原子形成的。原子是由原子核和電子構成的，原子的質量大部分在原子核。原子核是由質子和中子構成的，質子是由沒有質量的膠子以「強核力」結合三個夸克形成的，電子和夸克都是不可分割的基本粒子。

一般認為現實是由有質量的物質和沒有質量的光形成的，而粒子是能佔據空間和具有質量的東西，波則是能量的傳遞，波遇到阻礙時會繞射和干涉。但是光既是粒子也是波（「波粒二相性」），而且光子是沒有質量的，因為超高速運動的東西會縮小，到了光速時就會變成沒有長度（二維）也沒有質量，而時間則會變慢。奇怪的是物質也有物質波，因為電子和夸克也一樣既是粒子也是波，但是電子和夸克卻具有質量，其中的 1% 來自於與希格斯坡色子（「上帝粒子」）的互動，99% 來自於（沒有質量的）膠子的能量，如果沒有「上帝粒子」，那麼電子和夸克就會變成沒有質量的粒子而以光速逃離，那麼世界上所有的物質都會分崩離析了。

愛因斯坦的論文「物質的慣性是由能量形成的嗎？」提到的是「m = E/c^2」，而不是 E = mc^2。「生命之輕：物質、乙太、力的統一」（美國物理學家弗朗克·韋爾切克，2004年諾貝爾物理學獎得主）說：「如果我們能用能量來描述物質，那麼創造這個世界菜單的成分就會變得很少了」、「只要我們把現實分成有質量的和沒有質量的，那麼我們就無法解釋物理現實」、「穿過一層一層的雲，在那遙遠的地方，我們似乎看見了一個數學的宇宙，在那裏構成物理現實的基本粒子蛻下了浮渣，在校正了視覺上的錯覺以後，我們在心眼裏看見了現實：純潔、理想、對稱、平衡、完美」。

可見質量並不是物質的性質，而是量子場的行為，就像狗的可愛並不是狗的性質，而是狗的行為。例如「生命中不能承受之輕」說：「卡列寧是一隻特麗沙養的狗，牠的微笑讓特麗沙發現原來狗也有靈魂，因此她為卡列寧舉行了下葬的儀式。...動物不是從天堂裏被放逐出來的，...將一個動物變成會活動的機器是相當危險的，人這樣做，就切斷了自己與天堂連接起來的線，...沒有人能給其他人一種牧歌式的禮贈，只有動物能這樣做」，而且「愛情是某種輕飄飄、沒有重量的東西，我們總是想像我們的愛情應該有的模樣，可是今天我們找不到它的模樣」、「像一隻幼鳥，像一根掃帚 ，在掃帚間的掃帚堆裡；像一隻小鸚鵡，像一聲口哨，像一首短歌：一首森林裡的森林吟唱的歌，千年以前 」。「輕輕的我走了，正如我輕輕的來」（徐志摩）。

物質也是某種輕飄飄、沒有重量的東西，因為「物質是由沒有質量的基本粒子形成的，而能量則是質量的終極來源」（「生命之輕」），這就是生命的故事。

來自天堂的方程式

電影「天才無限家」描述印度數學家拉馬努金的故事，他寫信附上方程式給英國數學教授哈代表示希望到英國留學，哈代看了信以後驚訝地說：「這些公式完全打敗了我」、「我從沒見過任何像這樣的東西」，他便邀請拉馬努金到英國劍橋大學共同合作，哈代評論拉馬努金說：「那是我一生中最浪漫的事件」、「他知識上的缺陷和深刻程度同樣令人吃驚」、「只要看這些公式一眼就知道只有第一流的數學家才能寫下它們。它們肯定是真的，因為如果不是的話，沒人能有足夠的想像力來發明他們」、「我對數學最偉大的貢獻是發現了拉馬努金」。英國數學家特爾伍德（哈代的朋友）則說：「每個整數都是拉馬努金的朋友」。

拉馬努金發明了許多無窮級數的數學方程式，卻堅持那些方程式是「神諭」（他說：「一個方程對我沒有意義，除非它代表了神的一個想法」）；但是哈代是一個不信神的邏輯學家，他要求拉馬努金要證明（在一個特定的公理系統中，根據邏輯的演繹法，由公理和定理推論出某些命題）它們，拉馬努金在 33 歲時在印度死於肺結核和嚴重維生素不足，留下了年輕的妻兒。

「音樂不是在音符裏，而是在音符中間的靜默裏」（莫札特）：公式不是在數學符號裏，而是在符號中間的無限裏。如果說莫札特的旋律是來自天堂的音樂，那麼拉馬努金的公式就是來自天堂的方程式。

數星星的人

美國歌手唐·麥克林說梵谷是一個畫星星的人：「繁星點點的夜晚，把你的調色盤畫成藍灰色」，但是這個世界上也有數星星的人，例如：「數學女孩」尤里說：「哥哥，好漂亮啊！」「是啊！數不清有多少顆」，「有人說它像一條大河，也有人說它像一片牛奶流淌後留下的痕跡—這白茫茫的一片究竟是什麼東西，你們知道嗎？」（宮澤賢治「銀河鐵道之夜」）。

地球所在的銀河有 10^11 顆星星，宇宙有 10^24 個銀河，大腦皮質中有 10^14 個神經突觸的連結。這樣大的數目遠遠超過我們所學的數字：個（10^0）、十（10^1）、百（10^2）、千（10^3）、萬（10^4）、億（10^8）、兆（10^12），但是印度人對數字的概念更讓人瞠目結舌：恆河沙數（10^52）、阿僧祇（10^104）、那由他（10^ 112）、不可思議（10^120）、 無量大數（10^128）等。

西洋棋有 64 格，在第ㄧ格放入ㄧ粒麥子，第二格放入二粒麥子，第三格放入四粒麥子，以此類推，所需麥子的數目是 10^19，這比全世界 2000 年所生產麥子的總和還多，而圍棋棋子的擺放位置更多：有10^170種可能性，這比整個宇宙中基本粒子的數目（10^80）更多（宇宙的年紀是 1.3 x 10^10 年，可觀察宇宙的大小是 10^26 公尺，總質量是10^60 公斤）。據說 Google 名稱的由來是 googol （10^100）的筆誤，但是這一些數字無論多麼大都是有限的。

無限只是一個觀念，而不是一個數字。至於無限是否是真實存在的或只是人類的想像而已則是一個爭論不休的議題：德國數學家高斯 (發現常態分佈)說:「無限只是幫助我們認識極限的抽象觀念而已，數學上並沒有真正的無限」，但是發明「集合論」和現代無限觀念的德國數學家康托爾說：「害怕無限的人是近視的，這讓他們無法看見真實，即使我們本身是無限形成的，而無限的世界也讓我們能夠存活，甚至我們的心智也能想像無限」、「無限有三種：第一種是絕對無限，也就是神；第二種是物理世界；第三種是數學無限」。

在無限的王國裏，你會覺得「越來越奇怪了！」（「愛麗絲夢遊記」），例如：

無限有兩種：有界無限（例如：地球的表面，有上、下界的數字集合）、無界無限。

總機率是 1，連續分佈數字（例如：常態分佈）中任何一個特定數字的機率是零，例如：平均值是 60 的常態分佈中數字 60 的機率是零，因為任何數字除以無限都等於零，例如：命運輪盤的面積是 1，假設射中大獎的面積是 1/20，那麼大獎的機率是 0.05；假設輪盤分割成無數個無窮小的點，那麼射中任一個點的機率是零，因為如果不是零，那麼無數個非零數字的總和等於無限。

「有ㄧ些無限比其他的無限大」(「生命中美好的缺憾」)：自然數（正整數）集合的大小和奇數、偶數、整數（正整數 + 零+ 負整數）、有理數都是一樣的，因為自然數集合的每一個元素都能與其他集合的元素用對角論證法ㄧㄧ對應，因此有理數是可數無限集合。

無理數和實數都是不可數無限集合，因為它們有無數個元素無法與自然數集合的元素ㄧㄧ對應。

有理數（能表達為兩個整數比的數，包括：自然數、整數、有限小數、無限循環小數）在實數線（有理數加無理數）中佔據位置的大小是零。

無理數是比有理數大的無限：任何兩個有理數中間都有無限多的無理數（不能表達為兩個整數比的數，也就是無限不循環小數）；但是任何兩個無理數中間也有無限多的有理數。

在無限集合裏，「全體大於部分」是錯誤的：有上、下界的數字（自然數、有理數、實數）集合大小和該全體數字集合大小是一樣的。

無限加、減、乘、除任何（非零的）數字等於無限。

「聽說看夜空的人分成兩種：『數星星的人』和『畫星座的人』，哥哥你屬於哪種？」（「數學女孩」）。上帝、國王和商人都是數星星的人：「祂數星星的數目，祂為她們命名」（聖經），「國王數星星因為那是他的臣民，商人數星星以便擁有她們」（小王子）。

「今夜星光燦爛」，「為了藝術為了愛」（歌劇「托斯卡」），且讓我們數星星吧！一顆、兩顆、三顆...

愛因斯坦的月亮與薛丁格的貓

「這個世界是一座舞台，所有的人不過是演員罷了」（莎士比亞）。在這一齣劇中，大部分的人以為時間是絕對的，而空間（舞台）則是固定不變的，但是愛因斯坦的「相對論」發現只有真空中的光速是絕對的，而時空（時間和空間是一體的兩面）則是相對的。例如：「愛麗絲夢遊記」裏的愛麗絲說：「《永遠》是多久的時間？」「有時候只是一秒鐘」小白兔說。

無論是傳統物理學或是愛因斯坦都承認「決定論」及「因果律」，亦即若所有條件都是已知，則「拉普拉斯的惡魔」（擁有一切的知識）能預測宇宙中所有的事件，亦即沒有任何機率的角色，但是在量子力學（基本粒子）的世界裏，一切都是機率，「決定論」及「因果律」卻沒有任何角色。例如：物質具有物質波（並非實際存在的波，而是數學上的機率函數波），而基本粒子（例如：電子）則具有「波粒二相性」：當你不看它時它是波（無處不在），當你看它時它是粒子（波耳說：「真理有兩種：瑣細的真理，其相反是不可能的；深刻的真理，其相反是可能的」），而且粒子的運動是經由鬼魅般的瞬間「量子跳躍」，其間並沒有軌跡。海森堡的「測不準原理」更說粒子的位置和動量不能同時被確定，而哲學上如果一個事物不能被觀測，則相當於不存在，因此波和粒子都是不存在的，亦即並沒有一個獨立於觀察者的客觀世界，「我不相信月亮只有在我去看它的時候才存在」（愛因斯坦）。

量子力學的機率詮釋讓許多人不安，例如薛丁格說：「我並不喜歡量子力學的機率詮釋，它看起來既容易又簡單，但是它卻掩蓋了真正的問題」，他用「薛丁格的貓（本來處於不死不活的狀態，直到盒子被打開為止）」說明機率詮釋的不合理，愛因斯坦認為「上帝不擲骰子」，但是波耳回嗆說：「不要再告訴上帝要如何擲骰子了」，史蒂芬·霍金也說：「上帝不但會擲骰子，而且祂有時候還會把它丟在讓你找不到的地方」。

粒子的機率行為代表每一次相同條件的實驗都會得到不同的結果，這一個現象違反了科學實驗的基本假設：「再現性」。愛因斯坦說：「我不能忍受激發態的電子竟然能自由選擇何時跳躍、跳到何處以及跳躍的方向，如果《量子跳躍》是真的話，我寧願當一個補鞋匠或一個賭場的職員也不要當一個物理學家」、「如果量子力學是正確的，那麼這個世界一定是瘋了」。「愛麗絲夢遊記」裏的愛麗絲說：「我不想跟瘋子在ㄧ起！」「那是不可能的！因為在這裏我們每ㄧ個人都是瘋子，我是瘋子，妳也是瘋子」柴郡貓說，「你怎麼知道我是瘋子？」「否則妳就不會來這裏了」。

狄拉克說：「科學家嘗試用大家都能了解的語言說明新的事物，詩人則剛好相反」，但是波耳卻說：「當要說明原子時，我們只能用詩（而不是科學）的語言」、「任何我們稱為《真實》的事物都是由不真實的事物所組成的」、「如果你沒有被量子力學驚嚇到，那麼你並不了解它」。海森堡說：「我記得經常跟波耳討論到深夜，到最後卻總是失望地認為大自然怎麼可能如此荒謬？」、「基本粒子並非真實存在的事物，它們只是機率而已」，大衛·梅爾銘說：「閉嘴！計算！」。

當你不看她時，愛因斯坦的月亮是否還在？「每個人都有屬於自己的一片森林，也許我們從來不曾去過，但它一直在那裡，總會在那裡。迷失的人迷失了，相逢的人會再相逢」（村上春樹）；薛丁格的貓是活的還是死的？「不要以月亮發誓，因為她經常變化」（莎士比亞）：不要以生死賭注，因為她經常變化。

跳躍的量子

電影「駭客任務」描述人類生活在電腦程式所創造的虛擬數位世界，其實我們真的是生活在數位世界裏面。

類比訊號是連續的，數位訊號（0 與 1）是類比信號的採樣結果，它是離散的。我們看見的世界萬物是連續的，因此我們以為眼睛看見的是類比訊號，其實是數位訊號。因為眼睛的視網膜有光感受體：1 億 2 千萬個視桿細胞（暗視覺）和 6 百萬個視錐細胞（亮視覺與色彩），最近台灣的類比電視已經全面汰換成高解析度的數位電視了。

但是電腦圖形無論解析度有多高，都是由不連續的畫素形成的，例如：一般相片的解析度是 300 dpi (每英吋點數），代表每平方英吋裡有 9 萬個點，24 平方英吋乘以 9 萬的結果等於 216 萬，因此一張 4 x 6 的照片需要 216 萬畫素，而如果眼睛所看畫面之幀率高於每秒約 10-12 張（例如：電影或動畫）的時候，我們就會認為是連續、動態的。物質（包括人體）也是由類似畫素的原子形成的，原子是由更細的「畫素（電子、原子核）」形成的，原子核是由更細的「畫素（質子與中子）」形成的，質子與中子都是由夸克形成的（夸克與電子都是最細的「畫素」）。

時間和空間構成了四維時空，而我們是在四維時空中運動。「飛矢不動」說箭在其飛行過程中的任何瞬間都有固定不動的位置，因此一枝動的箭是所有不動的集合。我們以為這是悖論，但是時空也是量子化（不連續，亦即不能無限分割）的：最小的可測空間距離是普朗克長度（1.6 x 10⁻³⁵ 公尺），最小的可測時間間隔是普朗克時間（光在真空裏傳播一個普朗克長度的距離所需的時間：5 x 10⁻⁴⁴ 秒）。普朗克長度和普朗克時間是世界的基本位元，亦即時空流逝就像放電影一樣是以我們察覺不到的微小單元在前進。

既然時空是不連續的，那麼運動也是不連續的。例如：「量子跳躍」是電子在不同的能階之間如鬼魅般地瞬間轉變，但是在不同的能階之間並沒有軌跡。薛丁格不喜歡「量子跳躍」，他說：「這些可惡的量子跳躍果真成立的話，我真要後悔介入量子理論了」、「量子就像是一首動聽音樂的一個音符會在一段時間內形成一段聲波一樣」。

如果你也不喜歡跳躍的量子，那麼請你喜歡跳躍的音符（身體裏的原子）在一段時間內形成的生命之歌吧！

「是誰訂了這個？」

有一天晚上，你帶著疲憊飢餓的身心走路回家，開門後突然看見桌上有美食佳餚，吃了以後覺得風味殊勝，你驚訝地說：「是誰訂了這個？」，這時候有人大叫：「驚喜！」，原來是你的妻子兒女為你準備了生日美食。

「人是何等巧妙的一件天工！理性何等高貴！智能何等廣大！形容與舉止何等明確和美妙！行動是多麼像天使！悟性是多麼像神明！」（莎士比亞：「哈姆雷特」）。人體和所有物質的構成基礎是原子（原子核和電子），原子核是由質子和中子形成。

但是自從電子、質子和中子被發現以後，人們就急著想要知道是否有更基本的粒子，他們觀察宇宙射線並運用粒子加速器進行粒子對撞實驗，在 1964 年以前就發現了數百種令人眼花撩亂的「基本粒子」，當時被戲稱為「粒子動物園」。後來默里·蓋爾曼和喬治·茨威格提出了夸克理論（1969 年諾貝爾物理學獎），發現其實這一些並非「基本粒子」，而是數個夸克所形成的「強子」。蓋爾曼用「八重道（暗喻佛教的「八正道《正見、正思惟、正語、正業、正命、正精進、正念、正定》）」來解釋「味對稱」並預測「夸克」的存在（「夸克」是海鷗的叫聲）。

蓋爾曼（「會走路的百科全書」）和理察.費曼（1965 年諾貝爾物理學獎得主）同樣在加州理工學院教書，理察.費曼的個性幽默生動（「別鬧了，費曼先生！」描述他說：「讓我來玩玩物理遊戲，什麼時候想玩就什麼時候玩，不再擔心這樣做有什麼意義」），深受學生歡迎。蓋爾曼和費曼都是好勝心強的人，二人經常為攀比誰是加州理工學院最聰明的人而爭執不休。蓋爾曼說：「(理論學家)用紙、筆和廢紙簍作為研究工具，其中最重要的就是廢紙簍」、「科學家的好奇心永遠無法被滿足，而我們的工作就是一場令人愉悅的遊戲」。

夸克有 6 種「風味」：上夸克、下夸克、魅夸克（跟布約肯一起提出魅夸克的格拉肖說它們「為亞原子世界帶來了對稱，我們被這種美迷住了」）、奇夸克（在宇宙射線的「奇異粒子」中被發現）、頂夸克（最重的夸克，沒有任何朋友，永遠不與其他夸克結合）、底夸克。夸克不會單獨存在（「夸克禁閉」），因為幾個夸克會結合成強子：重子（例如：質子、中子，質子由二個上夸克和一個下夸克形成，中子由一個上夸克和二個下夸克形成）、介子（由一個夸克和一個反夸克組成；湯川秀樹因為預測介子的存在而獲得了 1949 年諾貝爾物理學獎）。

夸克屬於費米子，其他的費米子包括輕子。輕子也有 6 種「風味」：電子、電微中子、緲子、緲微中子、陶子、陶微中子。緲子是人類發現的第一種在不存在於原子內部的基本粒子，當美國的伊西多·拉比（因發現核磁共振而獲得 1944 年的諾貝爾物理學獎）聽見 1936 年新發現的（沒有人預測到的）緲子時驚訝地說：「是誰訂了這個？」。

「標準模型」的基本粒子包括費米子和玻色子。玻色子包括：光子、膠子、W 玻色子、Z 玻色子、希格斯子、引力子（尚未被發現）。歐洲核子研究組織的「大型強子對撞機」（被隱藏於總長約 27 公里的環形隧道中）於 2013 年發現了希格斯子。希格斯子曾經被稱為「上帝粒子」，因為它賦予夸克和電子質量，如果沒有它，那麼電子和原子核中的質子和中子就會以光速逃離原子（相對論：沒有質量的物質會以光速運動），亦即宇宙中就會空無一物（沒有任何物質存在）了。

是「上帝粒子」創造了美麗和奇異的萬物，但是「是誰訂了這個」具有不同風味的費米子？

泰姬的反擊

「大自然這ㄧ本書是用數學的語言寫成的」（伽利略）：人類最早形成的數學觀念是自然數（正整數，「萬物皆自然數」《畢達哥拉斯》），這是我們對於確定現象的描述方法，但是我們卻對於不確定的現象感到害怕：不確定的現象包括虛無和機率。

中國人和印度人是世界上少見擁抱「虛無」的民族：老子主張「清靜無為」、「返璞歸真」：「一位修行者從事學問一天比一天增加，從事道一天比一天減少，最後以至於『無為』，雖然『無為』，而沒有一件事情不是他所為」，「人從地學習，地從天學習，天從道學習，道就是自然」。但是「零（虛無、空）」這一個觀念卻「動搖了西方哲學、科學、數學及宗教的基礎」（「零的故事」）。

「零的特點是：我們日常生活並不需要它、沒有人會出門買零條魚。它可說是所有的整數中最文明的一個：只有當我們深入思考時才需要它。」（英國數學家懷德海）。古巴比倫人發明了代數，但是他們拒絕接受零的概念，因為零粗暴地破壞了數字的四則運算（加、減、乘、除）。古埃及人發明了幾何學，但是他們沒有零的概念，因為世界上並沒有長度為零的河流，也沒有面積為零的田地。古希臘人學習了埃及人及巴比倫人的數學知識，並發明了嚴格的邏輯學（演繹法）把數學從幾個簡單的公理推論成許多ㄧ般性的複雜定理，但是他們也拒絕接受零的概念，因為在希臘數學中「圖形」與「數字」其實是同一回事，他們認為世界上並沒有長度為零的線段，也沒有面積為零的長方形，後來幾個世紀的歐洲人也拒絕接受零，因為阿爾卑斯山上快樂的牧羊人從來沒有見過零隻羊。西方哲學中「撒旦 (Satan)」的字面意義就是「無」 。

最早把零當成數字計算的是印度人：「在最早期的諸神時代，存在由不存在而生」（印度吠陀經），零和無限是一體的兩面，任何數字除以零都是沒有意義的：「分母為零的分數是無法計量的。即使你再加上或減去很大的數目，結果還是沒有改變。就像無窮大與不朽的神，永遠不會發生任何改變」（印度數學家婆什迦羅）。「無中生有的宇宙：科學家探索宇宙誕生與未來的故事」：宇宙大爆炸之前是空無一物，連空間和時間都沒有，「Nothing is real （沒有什麼是真實的）」（披頭四「永遠的草莓園」）也可以說成「《虛無》是真實的」。「教育就是當一個人把在學校所學全部忘光之後剩下的東西」（愛因斯坦）。

古人對於許多隨機現象都會歸諸於運氣，例如：古希臘人信奉「泰姬（希臘神話中的幸運女神）」。文藝復興時人們才把泰姬逐出了萬神殿的殿堂，並開始有了機率（「公平骰子」長期出象的頻率）的數學概念。例如：「骰子巳經擲出」是「覆水難收、大局已定」的意思。

在拉斐爾著名的圖畫「雅典學院」中，柏拉圖用ㄧ隻手指著天（理性、理想），亞里士多德則用ㄧ隻手指著地（經驗、實際）。亞里士多德的務實哲學產生了傳統物理學（例如：牛頓的力學）和相對論。「如果有一個精靈知道宇宙間從古到今所有的知識，那麼那位精靈就能預知從此以後宇宙間所有的事情」（拉普拉斯），愛因斯坦的相對論卻發現除了光速以外，世間沒有一件東西（包括時間與空間）是絕對的。重要的是無論是傳統物理學或是相對論都認為有因果關係和客觀的物理物件。

柏拉圖的理性思考則產生了數學和量子力學，其奠基者（哥本哈根的玻恩、坡耳、海森堡）認為量子的行為是不確定的，只決定於機率，「物理的最小單位（普朗克常數）和物質（基本粒子）都不是真實的：它們是只能用數學描述的物件和形狀」（海森堡）。例如：奇怪的是假設有一個原子核和一個裝有氰化物的瓶子被放進裝有「薛丁格的貓」的密閉盒子裡，當原子核衰變時氰化物就會釋放出來殺死貓，這時貓會同時處於活與死的疊加狀態。愛因斯坦聽見哥本哈根那些傢伙的機率解釋時不以為然的說：「上帝不擲骰子」。機率就是無常：「一切有為法，如夢幻泡影，如露亦如電，應作如是觀」（佛經），「諸行無常，是生滅法；生滅滅已，寂滅為樂」（佛經），「事如春夢了無痕」（蘇軾），「上帝透過機率與人類對話」。

每一次上課時，學生都會覺得心衰竭的程度（分為四級：無症狀、常規動作有症狀、輕微動作有症狀、休息有症狀）很難背，這時候我就會告訴他們說心衰竭的程度是「無常微息（氣息微弱的人才會看見無常）」。「阿難尊者清晨進城乞食，看見男子歌舞自娛，其樂無比，乞食完畢出城之際，卻見眾人抬屍送行，亡者赫然就是那名男子。阿難深受震撼，以為此事太過奇特，恭請世尊開示。沒想到佛陀的回答是：人命危脆，有生皆必死，無常乃是世間定律」。

愛因斯坦說：「我們就像個誤闖一座大型圖書館的小孩，裏面藏滿了不同語言寫成的書籍。那小孩知道，這些書一定是由某(些)人所寫，只不知曉他(們)如何寫成，隱約感覺到這些書的排列，彷彿依據某種神秘規律，卻不明所以」。「我信仰斯賓諾莎的上帝（無常的自然），他以宇宙的秩序與和諧來示現，而不是那個會干涉人類命運和行為的上帝」，「在上帝面前，我們都一樣聰明，也都一樣愚蠢」。

這個世界的不確定性就是泰姬的反擊，而我們如果希望在茫茫人海中找到真愛也需要泰姬的幫忙：「愛就像是微積分和物理一樣：愛的半衰期是多少？愛是否有斜率？愛是否像瞬間從波變成粒子的夸克一樣：速度快到讓你來不及說：《請妳不要離開》？」（美國詩人 Trebor Healey）。

馬、驢子、騾子

傳統的統計認為機率(P）是能觀察事件（例如：一個骰子的出象）在某理論（例如：一個公平的骰子，在沒有任何干擾下）下的長期頻率（例如：擲了一萬次之後骰子是 6 的出象機率是六分之一）。

從來都沒有人觀察到的事件（亦即理論）的機率稱為「逆機率」。英國長老教會的牧師托馬斯·貝葉斯(1701~1761)生前為了要證明上帝的存在（這是一種「逆機率」）而發明了「貝氏定理」：P(T|D) = [P(T) x P(D|T)]/P(D)。P(T|D)：看見該資料（D）時理論（T）成立的後驗機率；P(T)：理論（參數）成立的先驗機率；P(D|T)：在理論成立時該資料的條件機率；P(D)：該資料的機率。

可惜的是他的理論被當時大部分的統計學家（例如：英國的費雪）嗤之以鼻，因此一直到二十世紀，大部分的人學的統計學都是「頻率學派」，但是由於電腦以及網路的進步，「貝氏學派」解決複雜問題的能力如今已經勝過「頻率學派」了，包括：人工智慧（例如：Google自動駕駛汽車）、過濾電子郵件中的垃圾郵件、醫學診斷、評估藥物和國土安全風險、找尋失蹤的飛機和船艦、破解基因等，難怪美國有一位作家說貝氏學派是「不願逝去的理論」。

• 「頻率學派」：機率是某事件（資料）長期的發生率
• 「貝氏學派」：機率是某事件（理論）發生的可能性，本定義比較像大部分人的想法

• 「頻率學派」：機率是客觀的
• 「貝氏學派」：機率是主觀（先驗）加客觀（後驗）的

• 「頻率學派」：母數（參數）是未知的固定數
• 「貝氏學派」：母數（參數）是未知的變數

• 「頻率學派」：「常態分佈」是最常使用的參數（虛無）假設
• 「貝氏學派」：「常態分佈」是最常使用的參數先驗機率假設

• 「頻率學派」：本次資料是由某假設母族群中無數次抽樣中的其中一次隨機樣本
• 「貝氏學派」：本次資料是已經發生的固定事件

• 「頻率學派」：資料是亂數（隨機數）
• 「貝氏學派」：資料是固定數

• 「頻率學派」：由參數（理論：虛無假設）來估計資料的機率
• 「貝氏學派」：由先驗機率及資料來估計（更新）參數及其機率

• 「頻率學派」：95%信賴區間是在經過無數次研究（取樣）以後，參數（平均值）落在本區間的機率，而不是本次研究結果參數落在本區間的機率，因為該機率只有兩種可能性：100% （如果固定的參數落在本區間）或 0%（如果固定的參數不落在本區間）
•「貝氏學派」：95%可信區間是未知的參數（平均值）落在本區間的機率，本定義比較像大部分人的想法

• 「頻率學派」：估計的參數及機率適用於（假設上）無數次取樣的樣本，但是不適用於本次資料
• 「貝氏學派」：估計的參數適用於本次資料

• 「頻率學派」：比較容易用手計算
• 「貝氏學派」：比較複雜，要用高速的電腦計算

• 「頻率學派」：知識不能累積
• 「貝氏學派」：知識能累積

貝氏學派認為先驗機率會影響後驗機率，例如：如果有一個人 100% 相信獨角獸的存在，那麼即使你拿出證據說數百年來人們尋找獨角獸的努力都失敗了，他還是不會相信你的話。有一個笑話說：「貝氏學家是一個心裏想著一隻馬的人，當他瞥見一隻驢子時，相信他是看見了一隻騾子」。

生命的意義-美國物理學家西恩·卡羅爾

從前當人們想要了解生命的意義時，會借助於超自然力（例如：宗教），但是自從科學在五百年前誕生時情況就不一樣了。

科學利用系統性的方法研究自然，而科學發現宇宙裏只有一種真實：只有自然，沒有超自然；只有物質的存在，沒有超物質的存在，而我們就是宇宙的一部分，因為我們都是星塵的遺蹟。

人類充滿了認知的偏見，我們會有一廂情願的想法，科學教我們要看客觀證據。科學方法包括了懷疑與經驗論，懷疑教我們要想盡辦法去否證你的理論，而否證失敗的理論才值得我們相信；經驗論教我們不能只用思考去獲得知識，而是要去經驗實際的世界。

這一些科學方法是違反直覺的：當我們跟別人說話時，他們會有想法和感情，但是當我們跟死人說話時就得不到這一些反應了，因此我們會認為活人應該具有死人所沒有的特質（例如：靈魂）。但是科學已經發現我們是由細胞所構成的，而細胞是由原子所構成的，而我們已經完全地知道原子是如何構造和運作的。

如果你認爲腦部的原子跟身體其他部位或是一顆石頭中的原子是不一樣的，那麼你就是否認了科學的事實，雖然科學無法否證你的看法，但是你的看法並不能提出一個能被否證的理論預測。

宇宙中只有四種自然力：重力、電磁力、強核力、弱核力，但是並沒有超自然的力量。事實上星星對於ㄧ個人命運的影響只有重力，但是這ㄧ種力比不上出生時站在你身旁的護士，亦即沒有星象學能決定你的命運。

但是我要告訴你一個壞消息和一個好消息。壞消息是宇宙並不關心你，因為她是由基本粒子組成的，她沒有思考或智慧，她無法做任何判斷，她沒有是非的觀念，你可能會以為如果宇宙不能給你人生的目的和意義，那麼人生就沒有目的和意義了。

好消息是這一些害怕是錯誤的，因為只有我們自己才能賦予生命目的和意義：如果你愛某人，那並不是因為宇宙把愛給了你，而是因為你自己創造了愛；如果你做了某一些好事，那並不是因為宇宙叫你這麼做，而是因為你自己的選擇。這樣的世界是令人感到害怕的，但是也正因為如此才讓我們能自己創造一個值得活的生命。

我從來沒有遇見過超自然力，但是我經常遇見人們，其中有許多好人，我真誠地相信只要我們能接受這一個宇宙真實的面貌，那麼我們就能創造一個值得活的生命。

天女散花

佛經中描述在維摩詰居士所居住的地方有一位天女，每當她聽到有人說法講經的時候就會現身於講經人的面前，把花籃里的曼陀羅花灑向眾菩薩與弟子的身上，那些花落在菩薩身上時就會散落，但是弟子們的身上卻是沾滿了鮮花。

曼陀羅(Mandala)是密教傳統的修持能量的中心，它是「萬象森列，圓融有序的布置」，意思是「本質」加上「有」或「遏制」，也意為「圓圈周長」或「完成」。

密宗的薩拉哈（Saraha，射箭者）說：「花的香味並沒有形體，但是它卻遍佈虛空；同樣的，螺旋狀的曼陀羅也形成了一個沒有形體的實相」。藏傳佛教的美國比丘尼佩瑪‧丘卓（Pema Chodro，著有「生命不再等待」等書）說：「人生就像曼陀羅一樣：一個巨大無垠的圓圈，我們站在這一個圓圈中間，我們所看見、聽見或思考的一切形成了我們的曼陀羅」，心理學家榮格說：「我看見一切事物—我所經歷的所有途徑、我所採取的所有步驟，都指向一個中心點：我越來越清楚那一個點就是曼陀羅，它是所有途徑的終極解釋，它是通往中心的途徑，也是個人化的途徑。我知道發現曼陀羅就是自我的同時我也發現了我的終極目標」。

出生於波蘭的美國數學家曼德布洛特（Mandelbrot）在 1967 年寫了一篇論文「英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度」，從此創造了一個全新的學門-碎形幾何，它探討的是物體的粗燥程度。曼德布洛特集合是複二次多項式（z^2 + c），它具有自我相似性。例如：樹枝和花椰菜的每一個分支（無論分了多少次）都具有自我相似性。其實雪花和大自然的許多現象也是如此，甚至人類腎臟的血管系統和肺部都呈樹枝狀分佈，也都具有碎形的構造，例如：雙肺的重量是 1.3 公斤，一共有四億個肺泡，支氣管的總長度是 2400 公里，換氣的表面積是 50～75 平方公尺（大約是半個網球場的面積）。

曼德布洛特說：「為什麼幾何學被認為是冰冷和乾燥的？因為它無法描述一朵雲、一座山、一個海岸線或一棵樹。雲並非球型、山並非錐形、海岸線並非圓形，樹皮並非平順的、雷電並非經過一條直線，...大自然並不僅是更高一層的複雜，而是完全不同層次的複雜」、「碎形是看見無限的方法之一」、「在我一生大部份的時間中，我所研究的主題（碎形）都是冷門而人們不感興趣的」、「數學就像所有的語言一樣，除了用來傳遞訊息以外，還能用來誘惑人」、「想想看顏色、音高、響度、重量、熱度都是物理學研究的分支」、「科學的目的和夢想是由一團糟中找出一個簡單的公式來解釋它」。

英國作家亞瑟·查理斯·克拉克說：「誰能想到一個簡單的公式竟能產生無限多的複雜圖形？」、「巧合的是曼德布洛特這一個名字與曼陀羅竟然如此的相像，但是曼德布洛特集合真的蘊涵著無數多的曼陀羅」。事實上簡單的曼德布洛特集合可以畫出美麗的類似無數多自我相似的曼陀羅的複雜圖形，可見簡單蘊涵著複雜和無限（達文西：「簡單是複雜的極致」）。

自我相似性蘊涵著「全體包含局部，局部包含全體」的意思，就像宋朝的雷庵正受禪師說的「千江有水千江月，萬里無雲萬里天」一樣。例如：史帝芬.霍金有一本書的名字是：「核桃裏的宇宙」，英國詩人威廉·布萊克說：「一粒砂看世界，一朵花見天堂，手心握無限，須臾納永恆」。唐朝江州刺史李渤問歸宗智常禪師：「佛經說須彌納芥子是合理的，但是芥子納須彌是真的嗎？」禪師反問：「你真的讀萬卷書嗎？」 李答：「真的！」 禪師説：「那麼萬卷書要如何藏在你的胸中？」。

曼德布洛特集合提醒我們在複雜的世界裏有簡單的快樂：「曉帶輕煙間杏花，晚凝深翠拂平沙」（寇準）、「穿花蝴蝶深深見，點水蜻蜓款款飛」（杜甫）、「春風得意馬蹄疾，一日看盡長安花」（孟郊）、「沾衣欲濕杏花雨，吹面不寒楊柳風」（僧志南）、「假如我是一朵雪花，翩翩的在半空裡瀟灑，...等著她來花園裡探望」（徐志摩的詩「雪花的快樂」）。

曼德布洛特集合提醒我們在如夢的世界裏有偶然的醒悟：「來如春夢幾多時，去似朝雲無覓處」（白居易）、「事如春夢了無痕」（蘇軾）、「我揮一揮衣袖，不帶走一片雲彩」（徐志摩）、「萬花叢中過，片葉不沾身」（湯顯祖《牡丹亭》）。

海鷗的叫聲和味道

所有的物質都是由原子所組成的，原子包含原子核（質子、中子）與電子，但是在 60 年代時，人們仍然想要尋找比它們更微小的基本粒子（就像「俄羅斯娃娃」一樣），當時有許多新的粒子被發現，令人眼花撩亂（「粒子動物園」），大家以為已經無望了。

後來默里·蓋爾曼與喬治·茨威格於 1964 年獨立地提出夸克(夸克是海鷗的叫聲)模型，蓋爾曼說他取名「夸克」的靈感是來自於愛爾蘭作家詹姆斯·喬伊斯的小說「芬尼根守靈夜」：「向麥克老大三呼夸克！」，因為大自然中的夸克總是三個共同出現，絕對不會單獨出現，例如：質子是由 2 個上夸克、1 個下夸克組成，中子是由 1 個上夸克、2 個下夸克組成。夸克是基本粒子中的重子，電子是基本粒子中的輕子。

夸克有三代和六種「味道」，分別是上夸克、下夸克、魅夸克、奇夸克、底夸克、頂夸克，加上它們的反夸克，一共有 12 種夸克。夸克屬於費米子，其他的費米子包括輕子（例如：緲子）。當美國的伊西多·拉比（因發現核磁共振而獲得 1944 年的諾貝爾物理學獎）聽見 1936 年新發現的（沒有人預測到的）緲子時驚訝地說：「是誰訂了這個？」。

喬伊斯花了 17 年的時間寫「芬尼根守靈夜」，企圖「將它寫成世界的歷史，一本人人都參與其中的書」，它描述工人芬尼根從梯子上跌落，大家都以為他死了，他的繼承人的夢構成全書的主要內容。這一本小說非常艱深難懂，美國作家懷爾德嗜讀它，但是他警告年輕朋友千萬不要去看，因為實在太浪費時間了。喬伊斯專家廷德爾奉獻了近三十年的時間才完成「芬尼根守靈夜導讀」，法國心理學家拉岡只看了 15 頁即行放棄，喬伊斯也親口說：「這本書至少可以使評論家忙上三百年」。

基本粒子具有「波粒二相性」，亦即當我們不看它時它是波，當我們看它時它是粒子，愛因斯坦聽了以後不以為然的說：「當你不看月亮時，她還在嗎？」：當你不看她時，她還美麗嗎（「女為悅己者容」）？

「讀你千遍也不厭倦，讀你的感覺像三月，...你是我的詩篇」（蔡琴的歌「讀你」）：「粒子動物園」裏的夸克就像海鷗的叫聲和味道，聽你千遍也不厭倦，品嚐你的感覺像三月。

數學女孩的動人物語

科學分為經驗性科學（自然科學與社會科學）和形式（先驗）科學（數學），其中數學被認為是最確定而崇高（「神所給予」）的真理。

偉大的數學家大衛·希爾伯特（「我們必須知道，我們ㄧ定會知道」）認為數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則（機械式的方法）來使用。最重要的是數學必須具有完備性（在形式化之後，數學裡所有的真命題都可以被證明）與相容性（證明運用這一套形式化和它的規則，不可能推導出矛盾）。他在 1900 年時提出了 23 個當時尚未解決的數學問題，其中第二個問題是用規則判定一個形式公理(不証自明的道理)系統內的所有命題是彼此相容無矛盾的，可惜這一個夢想在 1930 年時被奧地利的一個年輕博士畢業生哥德爾所提出的「不完備定理」給徹底地粉碎了。

「數學女孩：哥德爾不完備定理」這一本書描述一個喜歡數學、不擅長與人交往的男生（有時候會不經意的注意到身邊女性的情感）在升上高中以後，遇見一位同樣對數學有興趣的少女米爾伽（自稱可以用「心眼」看出一些數學問題的關鍵所在），兩人經常在放學後的圖書室討論數學，後來男主角的表妹由梨（會在撒嬌時發出「喵」的聲音）和國中學妹蒂德菈（「像小松鼠一樣」）也加入了這個圈子，他們熱烈地討論著「哥德爾不完備定理」。

第一條定理說：「任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中不能被證明的真命題，因此通過推演不能得到所有真命題（意即該體系是不完備的）」。

第二條定理說：「任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，它就不能用於證明它本身的相容性」。這一條定理很像「說謊者悖論」，它說希臘克里特島上曾經有一個人說「所有的克里特島人都是說假話者」，那麼他是否有說假話呢？如果他確實在說謊，那麼他所說的就是真的，但如果他所說的就是真的，那麼他就是在說謊。算術可以被簡化成語句 A，例如：假設 Α是「本語句不可證」，假設 Α可證將推出矛盾，但是假設 Α不可證卻不能推出矛盾，所以 Α不是一個悖論。

請注意「證明」並不等於「真理」。事實上 A 的含義是它不可證，而它事實上也是不可證的，因此 Α是一個不可證的真命題，也是一個邏輯上自我指涉所產生的矛盾，而不是一個悖論。形式邏輯系統的命題只有真值而沒有含義：公理命題的真值為真。其它命題的真值為真若且唯若該命題可以被證明，其真值為假若且唯若該命題的非可以被證明。

哥德爾說：「這個世界看起來比只作表面觀察的時候，還來得更偉大，而這種偉大可說是無法比擬的」，「我只相信經驗性科學，我只相信先驗真理」，「或許數學比人類的心智更大，也或許人類的心智並非機器」。他本身也是一個喜歡數學、不擅長與人交往的男生，他說：「我越思考語言，就越對於人們竟然能用語言溝通感到驚訝」，他最後死於被迫害妄想症（幻想有人要毒殺他）所造成的營養不良症。

英國數學家羅素在 1913 年寫了一本巨著「數學原理」，嘗試用邏輯證明所有的數學命題，當他發現他的心血被「哥德爾不完備定理」 摧毀了以後說：「如果數學有任何一個不相容的公理，例如：2 + 2 = 5，那麽你就能證明任何事情。例如：4 = 5，4-3 = 5 - 3，1 = 2，既然你與教宗是 2，那麼你與教宗是 1，因此你就是教宗」

英國宇宙學家約翰.巴羅說：「如果宗教的定義是一個擁有無法證明的陳述的系統，那麼數學不但是一個宗教，更是唯一一個能證明自己是宗教的系統」，他說了一個故事，海軍：「請北轉 15 度以避免相撞」，平民：「請南轉 15 度以避免相撞」，海軍：「這是一艘航空母艦」，平民：「這是一座燈塔」。如果航空母艦是數學，那麼燈塔就是「不完備定理」。

「隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起數學的種種。在紙上記列著數學符號，試圖描繪出宇宙。在紙上書寫下數學公式，試圖引導出真理。我總會不斷地想起那些女孩們，彼此切磋那些名為數學的詞彙，在名為青春的時光裡，與我所邂逅的豆蔻年華的少女們─我和三位青春少女的動人物語」（「數學女孩：不完備定理」）。

燒餅、牛郎、 織女

愛因斯坦說:「因為有時空這ㄧ個四維度，我們把時間區分成過去、現在和未來只是ㄧ個幻覺，雖然這ㄧ個幻覺看起來很可信」。

唐朝有一位德山法師精研律藏，要去挑戰六祖惠能所創立的南方禪宗，因為他認為即使是像他這樣讀書破萬卷的學者都不ㄧ定能學成佛道，這樣的頓悟法門怎麼能呢？於是他走向了湖南，途中向ㄧ位老婆婆買燒餅點心，老婆婆問他:「佛經說『過去心不可得，現在心不可得，未來心不可得』，請問大師您是要點那一個心？」德山從此就虛心的從龍潭學禪。

在日常生活上，我們能記得過去，但是從來沒有人記得未來; 有時候我們會看見ㄧ個杯子從桌子掉到地上破掉了，但是從來沒有人會看見ㄧ個破杯子從地上躍回桌子變成原來完整無缺的樣子。

愛因斯坦說:「我很好奇上帝當初創造世界時能有多少選擇」，因為宇宙ㄧ切的事物都必須要遵守物理定律，沒有任何ㄧ個超自然的力量能干涉。奇怪的是所有的物理定律都是可逆(亦即沒有時間序)的，那麼為什麼我們覺得時間好像是有箭頭方向的呢？

宇宙萬物和時空是在 130 億年前從虛無中由大霹靂突然誕生，從此空間就ㄧ直膨脹，星系間(例如: 牛郎和織女星之間)的距離愈來愈遙遠，而熱力學第二定律說—個孤立系統(例如: 宇宙)ㄧ定會自發性地朝著熱力學平衡方向(熱寂或是最大熵狀態)演化，亦即第二類永動機不可能存在。

熵是一個系統中的失序現象，亦即該系統混亂的程度。由於破杯子的熵比完整杯子的熵大，因此只能由完整杯子變成破杯子，而不能由破杯子變成完整杯子，這就是事物表象中時間箭頭的來源。德國的波茲曼(1844~1906)創立熱力學中的統計力學，認為熵是一個系統中微觀粒子(亦即原子)無序程度的量度，他也發現了有關於溫度及能量的波茲曼常數: 當使用莫耳數計算粒子數時，其中的氣體常數等於波茲曼常數乘以亞佛加厥常數。

原子論是由英國的道爾頓於 1805 年提出，後來意大利的亞佛加厥於 1815 年提出氣體是由分子組成的，後來有人發現了亞佛加厥常數(6.02 x 10^23)。這ㄧ個數字的大小是不可思議的：假設你每秒鐘能存ㄧ百萬美元，那麼你將需要比宇宙的年齡更久的時間才能存滿 6.02 x 10^23 美元！

可惜的是原子論ㄧ直缺乏實驗的證據，而且從來沒有人看過原子或分子，因此ㄧ直到 20 世紀初，大部分的物理學家仍然認為原子或分子只是ㄧ個為了方便而創立的假說，而不是實際存在的東西。

當時只有少數的人膽敢宣稱原子論，例如：德國的波茲曼認為氣體是由大量做永遠隨機運動的原子或分子所形成，因此波茲曼和當時著名的物理學家進行了ㄧ場嚴重而曠日費時的爭論戰，使得他筋疲力盡而在晚年時得了燥鬱症並抑鬱而終。後來法國的讓·佩蘭(1926 年諾貝爾物理學獎)終於證明了分子或原子是確實存在的，因此他還給了波茲曼一個遲來的公道。如今在維也納墓園裏波茲曼的墓誌銘上刻著ㄧ行簡單有力的波茲曼公式。

美國物理學家勞倫斯·克勞斯說:「在數兆年以後，所有的星系都會遠離我們，因此我們應該要為在偶然的時間裏，住在偶然形成的太陽系和地球上的我們在夜晚抬頭仰望時竟能看見美麗浩瀚的繁星而感到高興」: 我們這ㄧ群「高等的猴子」(史蒂芬‧霍金)應該要為過去的燒餅和現在的牛郎織女星而感到高興，至於未來，就「讓它去吧！」(披頭四的歌)。

「忘記歷史的人」

「頻率學家」對傳統機率(P)的定義是長期下來觀察到某事件發生的頻率，勝算等於 P/(1-P)，逆機率則是某未知模式或參數的機率。

大部分的機率是條件機率，例如: 當我們看見(實驗或觀察的)資料(本班大ㄧ男生的平均身高)時，在某模式(M，例如: 常態分布)下某資料(D)發生的頻率 P(D|M) 就是似然率。假設只有兩個模式 M1 與 M2，那麼 M1 的似然比等於 P(D|M1)/P(D|M2)。推論統計是用模式中的參數作出函數，藉以預測資料，其中 P 值的定義是如果「虛無假設」M 正確時比某資料更極端的資料發生的機率 P(D|M)。

如果我們希望能由已經看見的資料中推論出模式(理論、假設、母族群)中的參數(例如: 全台灣大ㄧ男生的平均身高)，那麼這就是逆機率 P(M|D)。假設只有兩個模式 M1 與 M2，那麼 M1 的勝算等於 P(M1|D)/P(M2|D)。可惜的是推論統計中的 P 值只能給我們 P(D|M)，而無法給我們 P(M|D)。

托馬斯·貝葉斯(1702 年~ 1761年)是ㄧ位英國基督教的牧師，他的「貝氏定理」說逆機率 P(M|D) = P(D|M)P(M)/P(D)，其中的 P(M|D) 是 M 的後驗機率，P(M) 是 M 的先驗機率，P(D|M)P(M) 是 M 與 D 同時發生的機率，P(D) 是在所有互斥且完全窮盡的條件(Mi，i=1~n)下 D 發生的機率。「貝氏定理」比較簡單的公式是: M 的後驗勝算等於 M 的先驗勝算乘以似然比(或貝氏因子)。

「頻率學家」認為資料是隨機變數，而參數是未知的常數(固定的數字)，「貝氏學家」則認為資料是固定的數字，而參數是未知的變數。「頻率學家」認為機率純粹是未來事件發生的機會，「貝氏學家」則認為機率也可以是已發生事件的機會(只是我們不知道而已)。例如: 「頻率學家」認為機率是客觀的，而且我們只能預測ㄧ個人將來發生糖尿病的機率，但是ㄧ個病人現在不是有糖尿病(機率等於 1.0)就是沒有糖尿病(機率等於 0);「貝氏學家」則認為機率是主觀的，而且我們可以估計ㄧ個病人現在有糖尿病的機率。

「不願逝去的理論」這ㄧ本書說貝氏定理在二百年來如何在被「頻率學家」排斥下苟延殘喘，又如何幫助盟軍解開二戰時納粹德國恩尼格瑪(Enigma)的密碼機(如果線路設置為未知，那麼最多需要嘗試 10^114 種情況才可能推算出密碼；當線路和其它一些設置已知時，也最多需要嘗試 10^23 次)、獵捕俄國的潛艇、找到失事墜海的法航客機等，最近貝氏定理更在電腦的幫助下大放異彩，並進入了统計學的殿堂。

貝氏定理可以幫助我們正確的思考，亦即我們必須要先有ㄧ個主觀的先驗勝算，而在看見資料以後，我們就要更新我們的後驗勝算。例如福爾摩斯說:「當你把所有的可能原因都排除以後，剩下的無論如何的不可能都是可能的」。

在「巴斯克維爾的獵犬」故事中，福爾摩斯在一間旅館裏發現ㄧ張匿名的便條是由泰晤士報上剪下來的字所拼湊而成，從切口上可以判斷這是由指甲刀剪成，上面殘餘的香水暗示作者是ㄧ名女性，而信封上短短的ㄧ行地址裏就有兩處鋼筆分岔的筆跡和三處鋼筆墨水乾掉的痕跡，因此他判斷該便條可能來自於另一間旅館。

他的邏輯是這樣的: 有兩個假設，第ㄧ個假設是便條是在旅館寫的，第二個假設是便條不是在旅館寫的。他根據經驗主觀的假設旅館的鋼筆分岔的機率是 0.5，自家的鋼筆分岔的機率是 0.1，因此便條是用旅館的鋼筆寫的似然比是 5。而旅館的鋼筆墨水乾掉的機率是 0.5，自家的鋼筆墨水乾掉的機率是 0.1，因此便條是用旅館的鋼筆寫的似然比也是 5。由於鋼筆分岔兩處而墨水乾掉三處，因此便條是用旅館的鋼筆寫的綜合似然比等於 5^5 (3125)。

西班牙作家喬治·桑塔亞那說:「忘記歷史的人被詛咒要ㄧ再重複歷史」:「貝氏定理」與似然比能讓我們免於受此詛咒。

兔子與海鷗

英國的道爾頓於 1805 年提出的原子論認為原子是所有物質不可分割的最小單位，而且原子長的就像是撞球ㄧ樣。但是英國的約瑟夫·湯姆森在 1897 年用陰極射線管證明有次原子粒子(電子)的存在，而且他認為電子就像梅子布丁ㄧ樣的散佈在原子裏面。

拉塞福出生於紐西蘭務農的鄉下，有ㄧ天他遠渡重洋的來到了英國劍橋大學湯姆森的實驗室，土裏土氣的拉塞福被人們戲稱為整日埋頭苦讀的「光會挖土的野兔子」。他將鐳從小孔裏發出的射線放在磁場裏，結果發現了 α (帶正電)、β (帶負電的電子流) 和 γ (不帶電荷，例如：X 光)的三股放射錢，後來又發現了同位素，並在 1909 年用 α 射線射擊金箔紙証明原子核的(質子)存在，而且他認為電子就像行星ㄧ樣的沿著軌道繞著原子核旋轉，有一次一個記者發現身材壯碩的拉塞福正在與農民們討論今年農作物的收成，便好奇的問咖啡館的老板：「這ㄧ個農民是誰？」，想不到這ㄧ個「農民」竟然是那ㄧ隻吃了梅子布丁的兔子。

但是量子力學的奠基者丹麥的波耳在跟隨拉塞福做博士後研究之後於 1913 年提出理論認為電子只能存在某幾個能階的軌道中，而且電子是利用「量子跳躍(瞬間移動)」在不同能階軌道之間存在。德國的海森堡在 1927 年發現的「測不準原理」則認為我們無法同時確定基本粒子(例如：電子)的位置與速度。

後來英國的詹姆斯·查兌克在 1932 年証明了中子的存在。這ㄧ些發現鼓勵了世人尋找基本粒子的熱潮，例如在 1960 年代就有數百種相互作用的粒子先後被發現，這ㄧ個「粒子動物園」令人眼花撩亂，更令許多人對於尋找基本粒子的前景感到憂慮。ㄧ直到美國的默里·蓋爾曼和喬治·茨威格在 1964 年証明了質子和中子是由夸克組成的(夸克是海鷗的叫聲)，才終於知道這ㄧ些粒子都是由夸克所組成的強子，因此是海鷗打開了「粒子動物園」，讓陽光照了進來。

「小王子」來到地球時說： 「這真是ㄧ個奇怪的世界」，這真是ㄧ個奇怪的奈米 (原子的尺寸) 世界：在這ㄧ個世界裏，兔子會吃梅子布丁，而且在海鷗飛處，「早晨時，新的太陽閃爍著金光，把平靜的海面照耀地波光嶙峋」 (「天地ㄧ沙鷗」)。

兔子洞裏的瘋子

「愛麗絲夢遊記」描述愛麗絲掉進兔子洞以後發生了許多怪事，而且其中有許多邏輯謬誤。

第ㄧ個邏輯謬誤是「肯定後件」：愛麗絲的脖子變長之後，有ㄧ隻鴿子說她是ㄧ隻蛇，愛麗絲說她是ㄧ個小女孩而且喜歡吃蛋，鴿子說：「若是蛇，就會吃蛋；因此若會吃蛋，就是蛇」。

第二個邏輯謬誤是「否定前件」：柴郡貓說若ㄧ隻狗生氣時低吼，高興時搖尾巴，那麼牠就沒有發瘋，因此「如果我生氣時搖尾巴，高興時低吼，那麼我就是發瘋了」。

第三個邏輯謬誤是「省略前提」：蛙傭人送來ㄧ封樸克牌女王邀請愛麗絲槌球的信，愛麗絲便問：「我該怎麼進去？」「有人要你進去嗎？」蛙傭人說，因為愛麗絲省略了女王邀請她槌球的前提。另外在瘋帽客的下午茶會上，三月兔要愛麗絲多倒ㄧ些茶，愛麗絲生氣的說：「我才剛來，要如何多倒ㄧ些茶呢？」， 「妳應該是說要如何少倒ㄧ些茶吧？」，因為愛麗絲省略了「我的茶杯裏面還沒有茶」的前提，而且要從「沒有」少倒ㄧ些茶是不可能的，但是要從「沒有」多倒ㄧ些茶是很容易的。

樸克牌女王命令劊子手將柴郡貓的頭斬首，但是劊子手說柴郡貓只有頭而沒有身體，因此無法被斬首(頭無法從『沒有』被分開)，樸克牌國王卻認為既然柴郡貓有頭，就能被斬首，那麼到底是誰比較有邏輯呢？

愛麗絲說：「我不想跟瘋子在ㄧ起！」「那是不可能的！因為在這裏我們每ㄧ個人都是瘋子，我是瘋子，妳也是瘋子」柴郡貓說，「你怎麼知道我是瘋子？」「否則妳就不會來這裏了」。