數學女孩的動人物語

科學分為經驗性科學（自然科學與社會科學）和形式（先驗）科學（數學），其中數學被認為是最確定而崇高（「神所給予」）的真理。

偉大的數學家大衛·希爾伯特（「我們必須知道，我們ㄧ定會知道」）認為數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則（機械式的方法）來使用。最重要的是數學必須具有完備性（在形式化之後，數學裡所有的真命題都可以被證明）與相容性（證明運用這一套形式化和它的規則，不可能推導出矛盾）。他在 1900 年時提出了 23 個當時尚未解決的數學問題，其中第二個問題是用規則判定一個形式公理(不証自明的道理)系統內的所有命題是彼此相容無矛盾的，可惜這一個夢想在 1930 年時被奧地利的一個年輕博士畢業生哥德爾所提出的「不完備定理」給徹底地粉碎了。

「數學女孩：哥德爾不完備定理」這一本書描述一個喜歡數學、不擅長與人交往的男生（有時候會不經意的注意到身邊女性的情感）在升上高中以後，遇見一位同樣對數學有興趣的少女米爾伽（自稱可以用「心眼」看出一些數學問題的關鍵所在），兩人經常在放學後的圖書室討論數學，後來男主角的表妹由梨（會在撒嬌時發出「喵」的聲音）和國中學妹蒂德菈（「像小松鼠一樣」）也加入了這個圈子，他們熱烈地討論著「哥德爾不完備定理」。

第一條定理說：「任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中不能被證明的真命題，因此通過推演不能得到所有真命題（意即該體系是不完備的）」。

第二條定理說：「任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，它就不能用於證明它本身的相容性」。這一條定理很像「說謊者悖論」，它說希臘克里特島上曾經有一個人說「所有的克里特島人都是說假話者」，那麼他是否有說假話呢？如果他確實在說謊，那麼他所說的就是真的，但如果他所說的就是真的，那麼他就是在說謊。算術可以被簡化成語句 A，例如：假設 Α是「本語句不可證」，假設 Α可證將推出矛盾，但是假設 Α不可證卻不能推出矛盾，所以 Α不是一個悖論。

請注意「證明」並不等於「真理」。事實上 A 的含義是它不可證，而它事實上也是不可證的，因此 Α是一個不可證的真命題，也是一個邏輯上自我指涉所產生的矛盾，而不是一個悖論。形式邏輯系統的命題只有真值而沒有含義：公理命題的真值為真。其它命題的真值為真若且唯若該命題可以被證明，其真值為假若且唯若該命題的非可以被證明。

哥德爾說：「這個世界看起來比只作表面觀察的時候，還來得更偉大，而這種偉大可說是無法比擬的」，「我只相信經驗性科學，我只相信先驗真理」，「或許數學比人類的心智更大，也或許人類的心智並非機器」。他本身也是一個喜歡數學、不擅長與人交往的男生，他說：「我越思考語言，就越對於人們竟然能用語言溝通感到驚訝」，他最後死於被迫害妄想症（幻想有人要毒殺他）所造成的營養不良症。

英國數學家羅素在 1913 年寫了一本巨著「數學原理」，嘗試用邏輯證明所有的數學命題，當他發現他的心血被「哥德爾不完備定理」 摧毀了以後說：「如果數學有任何一個不相容的公理，例如：2 + 2 = 5，那麽你就能證明任何事情。例如：4 = 5，4-3 = 5 - 3，1 = 2，既然你與教宗是 2，那麼你與教宗是 1，因此你就是教宗」

英國宇宙學家約翰.巴羅說：「如果宗教的定義是一個擁有無法證明的陳述的系統，那麼數學不但是一個宗教，更是唯一一個能證明自己是宗教的系統」，他說了一個故事，海軍：「請北轉 15 度以避免相撞」，平民：「請南轉 15 度以避免相撞」，海軍：「這是一艘航空母艦」，平民：「這是一座燈塔」。如果航空母艦是數學，那麼燈塔就是「不完備定理」。

「隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起數學的種種。在紙上記列著數學符號，試圖描繪出宇宙。在紙上書寫下數學公式，試圖引導出真理。我總會不斷地想起那些女孩們，彼此切磋那些名為數學的詞彙，在名為青春的時光裡，與我所邂逅的豆蔻年華的少女們─我和三位青春少女的動人物語」（「數學女孩：不完備定理」）。