「一場遊戲一場夢」

我在高中學到二次跟三次多項式的解有虛數根（√-1）時嚇了一跳，覺得很難接受虛數存在的事實，也不知道虛數有什麼實際的意義跟用處。

數字是一個用作計數、計算、標記或用作量度同質或同屬性事物的符號。其中正整數是自然數，因為人們認為正整數（例如：一隻羊、兩隻羊）是真實存在的。但是在過去一段很長的時間裏，人們認為零並不是真實的，而且零（虛無、空）這一個觀念曾經「動搖了西方哲學、科學、數學及宗教的基礎」（「零的故事」）。整數是正整數 + 0 + 負整數，「上帝創造了整數，其餘都是人做的工作」（德國數學家克羅內克）。

有理數是整數的分數，也可以表示為有限小數或無限循環小數。我們可以從有理數的名字知道它的大小（例如：3/4 > 2/3）。有理數是可數無限集合，其大小（元素個數）和自然數一樣，因為每一個有理數都能（用康托爾的「對角法」）和自然數一一對應。每一個人都經驗過自然數和分數，因此有理數是真實存在的，而且每一個有理數都有名字（例如：1，2，2/3）。

無理數是不能表示為整數的分數的數（例如：√2，π），也可以表示為無限不循環小數。我們不能從無理數的名字知道它的大小，只能從它有理數的近似值知道它的大小。無理數是不可數無限集合，它的個數比有理數多很多。有人認為無理數並不是真實存在的（例如：沒有人經驗過 √2），而且大部分的無理數並沒有名字。實數是有理數 + 無理數。

虛數（「想像的數字」）這個輕蔑的名字是笛卡兒命名的，因為他認為虛數並不是真實存在的數字。此後數百年來她受到了人們的誤解和討厭，「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物」（萊布尼茲）。複數是 a+ bi 形式的數，其中 a 和 b 是實數，i 是虛數（√-1）。實數線（X 軸）和虛數線（Y 軸）構成了複數平面。實數是 X 軸上的純量，複數是平面上的向量；虛數是實數部分為 0 的複數，也是負數的平方根。「連結實數世界裏兩個真理最短的路徑是通過虛數」（法國數學家阿達馬），例如：虛數能應用在把地球畫成平面的地圖，也能應用在描述相對論彎曲時空的黎曼空間。

那麼物質是真實的嗎？所有的物質都是由原子形成的，如果原子是一個足球場，那麼原子核就是中央的一顆綠豆，所以原子的 99.9999999% 是空的。那麼為什麼一張桌子也會變得堅實？是因為舞動的電子，讓它感覺堅實。「物質（基本粒子）並不是真實的：它們是只能用數學描述的物件和形狀」（發現「測不準原理」的海森堡）。「一切有為法 ，如夢幻泡影，如露亦如電，應作如是觀」（佛經），「菩提本無樹，明鏡亦非台」（禪宗六祖惠能），「假作真時真亦假，無為有處有還無」(「紅樓夢」)。

所有的原子都是由基本粒子形成的，基本粒子都具有「波粒二象性」（當你不看她時，她是波，當你看她時，她是粒子）和物質波（由薛丁格方程式所描述）。有趣的是薛丁格方程式中有虛數，而玻恩認為波函數是一種機率振幅，代表基本粒子的機率分佈，亦即物質波就是機率波。他說：「智力區分了可能和不可能，理性區分了合理和不合理，即使可能也可以是不合理的」、「在科學裏並沒有哲學意義上的正確道路，也沒有知識上的路標，我們只能在叢林裏面用嘗試錯誤走出一條路，並立下路標」、「我們所看見的每一個物件都有無數的外表，物質的意義就是這一些外表間不變的共同表徵」。

「數學，一個人類基於想像而非經驗發明的東西，怎麼能如此有效地解釋物理真實？」（愛因斯坦）。所有的數字都不能被感官知覺，所有的數字都不能被科學儀器測量，所有的模型都是用數字寫成的，那麼數字是真實的嗎？「我們用三個方法來判斷什麼是物理真實: 感官、科學儀器與模型 」（理查·道金斯：「現實的魔法：我們如何知道什麼是真的」）。「大自然這本書是用數學語言寫的」（伽利略）。「數學有一部分是被發現的，有一部分是被發明的」（「上帝是數學家嗎？」）。「如果我們把正數、負數和虛數改稱為直接數、反向數和側向數的話，我們對虛數難以接受的隱晦面就不復存在了」（高斯）。

「不要談什麼分離，我不會因為這樣而哭泣，那只是昨夜的一場夢而已。不要說願不願意，我不會因為這樣而在意，那只是昨夜的一場遊戲」（「一場遊戲一場夢」）：虛數的幾何意義是向量，虛數的物理意義是物質和空間的本質，虛數不只是一場遊戲一場夢。