來自天堂的方程式

電影「天才無限家」描述印度數學家拉馬努金的故事，他寫信附上方程式給英國數學教授哈代表示希望到英國留學，哈代看了信以後驚訝地說：「這些公式完全打敗了我」、「我從沒見過任何像這樣的東西」，他便邀請拉馬努金到英國劍橋大學共同合作，哈代評論拉馬努金說：「那是我一生中最浪漫的事件」、「他知識上的缺陷和深刻程度同樣令人吃驚」、「只要看這些公式一眼就知道只有第一流的數學家才能寫下它們。它們肯定是真的，因為如果不是的話，沒人能有足夠的想像力來發明他們」、「我對數學最偉大的貢獻是發現了拉馬努金」。英國數學家特爾伍德（哈代的朋友）則說：「每個整數都是拉馬努金的朋友」。

拉馬努金發明了許多無窮級數的數學方程式，卻堅持那些方程式是「神諭」（他說：「一個方程對我沒有意義，除非它代表了神的一個想法」）；但是哈代是一個不信神的邏輯學家，他要求拉馬努金要證明（在一個特定的公理系統中，根據邏輯的演繹法，由公理和定理推論出某些命題）它們，拉馬努金在 33 歲時在印度死於肺結核和嚴重維生素不足，留下了年輕的妻兒。

「音樂不是在音符裏，而是在音符中間的靜默裏」（莫札特）：公式不是在數學符號裏，而是在符號中間的無限裏。如果說莫札特的旋律是來自天堂的音樂，那麼拉馬努金的公式就是來自天堂的方程式。

鑽石與珍珠

血鈉濃度等於身體（可交換）的總鈉、鉀量除以身體總水量，因此只有當身體中鈉與水的比率改變時才會有血鈉濃度的異常，其中低血鈉是最常見也最困難的電解質代謝異常，因此有許多學生念到哭了，幸好有一些「臨床珍珠」能幫助我們診斷及治療低血鈉。

低血鈉的病理生理學牽涉了鈉的代謝和水的代謝，這兩者就像孿生子一樣很像，而且有密切的相關，但是並不一樣：鈉的代謝和血量（或細胞外液量）的調節有關。當血量下降時，會刺激交感神經與血管活性因子讓血管收縮，同時會抑制利鈉因子讓尿鈉減少；相反的當血量上升時，會抑制交感神經與血管活性因子讓血管擴張，同時會刺激利鈉因子讓尿鈉增加。當身體總鈉量增加時，一定會有高血量與水腫；當身體總鈉量降低時，一定會有低血量。

但是單純鈉的代謝異常並不會造成低血鈉，只有當它合併有水的代謝異常時才會有低血鈉，例如：如果血量下降大於 5%，就會造成非滲透壓性的 ADH 分泌（身體為了維持血量，寧可犧牲滲透壓）而造成低血鈉。低血鈉只有三種原因：第一是身體總鈉量降低大於身體總水量的降低（低血量），此時有（適當的）非滲透壓性ADH 分泌（Uosm > 100 mOsm/kg，尿鈉 < 10 mEq/L）。第二是身體總鈉量不變而身體總水量增加（正常血量），此時有（不適當的）非滲透壓性 ADH 分泌（Uosm > 100 mOsm/kg，尿鈉 > 20 mEq/L，例如： SIADH）。第三是身體總鈉量增加小於身體總水量的增加（高血量與水腫），若是腎衰竭，則是因為腎衰竭造成等張尿（尿液既無法濃縮，也無法稀釋，Uosm = 300 mOsm/kg，尿鈉 > 20 mEq/L）；若是心衰竭、腎病症候群、肝硬化，則有低有效血量（亦即低動脈血量）所造成的非滲透壓性 ADH 分泌（Uosm > 100 mOsm/kg，尿鈉 < 10 mEq/L）。可見絕大部分的低血鈉是因為尿液無法稀釋，亦即 Uosm > 100 mOsm/kg（低溶質攝取是少數的例外，此時的 Uosm < 100 mOsm/kg）。

水的代謝和滲透壓（或血鈉濃度）的調節有關：正常人的血鈉濃度（135-145 mEq/L) 在狹窄（+-2 mEq/l) 的範圍內變動，這和水的代謝有關：當血鈉下降大於 2 mEq/L （或 Posm 下降大於 4 mOsm/kg）時，就會抑制 ADH，在血鈉小於 135 mEq/L 時 ADH 甚至會立刻停止分泌，但是原來血液中的 ADH（半衰期 20 分鐘）在 80 分鐘以後才會消失讓尿液稀釋（亦即集尿小管不能吸水，此時的 Uosm < 100 mOsm/kg，這就是為什麼當我們喝水以後大約 80 分鐘以後才會想要尿尿的原因）；相反的當血鈉上升大於 2 mEq/L （或 Posm 上升大於 4 mOsm/kg）時，就會刺激 ADH 分泌而立刻讓尿液濃縮，但是腎臟對於鈉和水代謝異常的代償在 2 天以後才會達到穩定狀態，亦即大於 2 天以上稱為慢性低血鈉（屬於大部分的低血鈉病人，而急性水中毒則少見）。

請注意以上的檢驗都是測定單次的尿液，而不是一天的尿液：慢性低血鈉病人的血鈉及一天的 Uosm 或是尿鈉都是穩定的，單次的尿液在正常人理論上則是不穩定的，因為Uosm 或是尿鈉會受到喝水量（亦即尿液濃度）或是吃鹽量的影響（這是腎臟的「量入為出」），但是因為大部分的低血鈉病人尿液無法稀釋（Uosm 不會受到喝水量的影響），因此單次的尿液Uosm 反而是穩定的。

至於尿鈉則是在低血量與低有效血量（尿鈉 < 10 mEq/L）時是穩定（不受到吃鹽量的影響）的，但是在正常血量或是腎衰竭時卻會受到吃鹽量的影響（低鹽飲食會讓尿鈉 < 10 mEq/L）。當然這只是許多醫生多年以來累積的床邊「拇指法則」，而不是科學，因為醫學的父親是科學，母親是藝術。

低血鈉的病理生理學是精確美麗的科學，就像鑽石一樣，床邊法則卻只是「臨床珍珠」罷了。美國女歌手瓊·貝茲說她和巴布.狄倫的愛情帶來的是「鑽石與鐵鏽」：水與鈉的愛情帶來的是鑽石與珍珠。「但是珍珠是眼淚呢！」「我不怕！而且眼淚也能既快樂又悲傷，事實上我最快樂的時光是當我的眼睛充滿眼淚的時候」（「清秀佳人（紅髮安妮）」）。

數星星的人

美國歌手唐·麥克林說梵谷是一個畫星星的人：「繁星點點的夜晚，把你的調色盤畫成藍灰色」，但是這個世界上也有數星星的人，例如：「數學女孩」尤里說：「哥哥，好漂亮啊！」「是啊！數不清有多少顆」，「有人說它像一條大河，也有人說它像一片牛奶流淌後留下的痕跡—這白茫茫的一片究竟是什麼東西，你們知道嗎？」（宮澤賢治「銀河鐵道之夜」）。

地球所在的銀河有 10^11 顆星星，宇宙有 10^24 個銀河，大腦皮質中有 10^14 個神經突觸的連結。這樣大的數目遠遠超過我們所學的數字：個（10^0）、十（10^1）、百（10^2）、千（10^3）、萬（10^4）、億（10^8）、兆（10^12），但是印度人對數字的概念更讓人瞠目結舌：恆河沙數（10^52）、阿僧祇（10^104）、那由他（10^ 112）、不可思議（10^120）、 無量大數（10^128）等。

西洋棋有 64 格，在第ㄧ格放入ㄧ粒麥子，第二格放入二粒麥子，第三格放入四粒麥子，以此類推，所需麥子的數目是 10^19，這比全世界 2000 年所生產麥子的總和還多，而圍棋棋子的擺放位置更多：有10^170種可能性，這比整個宇宙中基本粒子的數目（10^80）更多（宇宙的年紀是 1.3 x 10^10 年，可觀察宇宙的大小是 10^26 公尺，總質量是10^60 公斤）。據說 Google 名稱的由來是 googol （10^100）的筆誤，但是這一些數字無論多麼大都是有限的。

無限只是一個觀念，而不是一個數字。至於無限是否是真實存在的或只是人類的想像而已則是一個爭論不休的議題：德國數學家高斯 (發現常態分佈)說:「無限只是幫助我們認識極限的抽象觀念而已，數學上並沒有真正的無限」，但是發明「集合論」和現代無限觀念的德國數學家康托爾說：「害怕無限的人是近視的，這讓他們無法看見真實，即使我們本身是無限形成的，而無限的世界也讓我們能夠存活，甚至我們的心智也能想像無限」、「無限有三種：第一種是絕對無限，也就是神；第二種是物理世界；第三種是數學無限」。

在無限的王國裏，你會覺得「越來越奇怪了！」（「愛麗絲夢遊記」），例如：

無限有兩種：有界無限（例如：地球的表面，有上、下界的數字集合）、無界無限。

總機率是 1，連續分佈數字（例如：常態分佈）中任何一個特定數字的機率是零，例如：平均值是 60 的常態分佈中數字 60 的機率是零，因為任何數字除以無限都等於零，例如：命運輪盤的面積是 1，假設射中大獎的面積是 1/20，那麼大獎的機率是 0.05；假設輪盤分割成無數個無窮小的點，那麼射中任一個點的機率是零，因為如果不是零，那麼無數個非零數字的總和等於無限。

「有ㄧ些無限比其他的無限大」(「生命中美好的缺憾」)：自然數（正整數）集合的大小和奇數、偶數、整數（正整數 + 零+ 負整數）、有理數都是一樣的，因為自然數集合的每一個元素都能與其他集合的元素用對角論證法ㄧㄧ對應，因此有理數是可數無限集合。

無理數和實數都是不可數無限集合，因為它們有無數個元素無法與自然數集合的元素ㄧㄧ對應。

有理數（能表達為兩個整數比的數，包括：自然數、整數、有限小數、無限循環小數）在實數線（有理數加無理數）中佔據位置的大小是零。

無理數是比有理數大的無限：任何兩個有理數中間都有無限多的無理數（不能表達為兩個整數比的數，也就是無限不循環小數）；但是任何兩個無理數中間也有無限多的有理數。

在無限集合裏，「全體大於部分」是錯誤的：有上、下界的數字（自然數、有理數、實數）集合大小和該全體數字集合大小是一樣的。

無限加、減、乘、除任何（非零的）數字等於無限。

「聽說看夜空的人分成兩種：『數星星的人』和『畫星座的人』，哥哥你屬於哪種？」（「數學女孩」）。上帝、國王和商人都是數星星的人：「祂數星星的數目，祂為她們命名」（聖經），「國王數星星因為那是他的臣民，商人數星星以便擁有她們」（小王子）。

「今夜星光燦爛」，「為了藝術為了愛」（歌劇「托斯卡」），且讓我們數星星吧！一顆、兩顆、三顆...

柯文哲校園演講：我的人生哲學

認真是一種習慣。
失敗有偶然的，成功很少有偶然的。
積小勝為大勝，積小敗為大敗。
成功的三個條件：天分、運氣、努力，天分靠父母，運氣靠天，只有努力能靠自己。
對自己要有合理的期望。
一個演講裏面，最重要的是最後一張幻燈片的最後一句話。
最困難的不是面對挫折打擊，而是面對各種挫折打擊，卻沒有失去對人世之熱情。
成功的時候是朋友認識你，失敗的時候是你認識朋友。
生命觀：你是誰？
價值觀：你為什麼活在這個世界上？
哲學觀：你活在這個世界上的目的是什麼？
「未知生，焉知死？」（孔子）「未知死，焉知生？」（李登輝）
人生只是一個過程，在過程中去尋找生命的意義，這就是生命的目的。
人生要有中心思想（宗教信仰或是人生哲學），如此當你遇到挫折時，才能保持初衷。
人生的結局只有兩種：一個插管、一個沒有插管。
人生要像哥倫布一樣，帶著堅定的勇氣航向不可知的世界。
正直誠信：是就說是，不是就說不是。
想要的願望趕快做，不要找一大堆理由：等博士班畢業、等小孩子長大、等升教授，因為可能沒有下一次，就是現在！
全世界很少有像台灣一樣的地方：30分鐘內可以看到山和看到海。
走！去感受台灣最底層的生命！
你做的事定義了你是誰、做你自己就好了、接受你自己。
要像我們的祖先一樣，擁有冒險犯難的精神：人因有夢想而偉大。
意志力能讓你做到不可能的事。
台灣是一個小國，如果失去了決心跟勇氣，我們還剩下什麼？
人生一定會有失敗，跌倒以後，爬起來再繼續跑，雖然很痛還是要跑到終點。

愛因斯坦的月亮與薛丁格的貓

「這個世界是一座舞台，所有的人不過是演員罷了」（莎士比亞）。在這一齣劇中，大部分的人以為時間是絕對的，而空間（舞台）則是固定不變的，但是愛因斯坦的「相對論」發現只有真空中的光速是絕對的，而時空（時間和空間是一體的兩面）則是相對的。例如：「愛麗絲夢遊記」裏的愛麗絲說：「《永遠》是多久的時間？」「有時候只是一秒鐘」小白兔說。

無論是傳統物理學或是愛因斯坦都承認「決定論」及「因果律」，亦即若所有條件都是已知，則「拉普拉斯的惡魔」（擁有一切的知識）能預測宇宙中所有的事件，亦即沒有任何機率的角色，但是在量子力學（基本粒子）的世界裏，一切都是機率，「決定論」及「因果律」卻沒有任何角色。例如：物質具有物質波（並非實際存在的波，而是數學上的機率函數波），而基本粒子（例如：電子）則具有「波粒二相性」：當你不看它時它是波（無處不在），當你看它時它是粒子（波耳說：「真理有兩種：瑣細的真理，其相反是不可能的；深刻的真理，其相反是可能的」），而且粒子的運動是經由鬼魅般的瞬間「量子跳躍」，其間並沒有軌跡。海森堡的「測不準原理」更說粒子的位置和動量不能同時被確定，而哲學上如果一個事物不能被觀測，則相當於不存在，因此波和粒子都是不存在的，亦即並沒有一個獨立於觀察者的客觀世界，「我不相信月亮只有在我去看它的時候才存在」（愛因斯坦）。

量子力學的機率詮釋讓許多人不安，例如薛丁格說：「我並不喜歡量子力學的機率詮釋，它看起來既容易又簡單，但是它卻掩蓋了真正的問題」，他用「薛丁格的貓（本來處於不死不活的狀態，直到盒子被打開為止）」說明機率詮釋的不合理，愛因斯坦認為「上帝不擲骰子」，但是波耳回嗆說：「不要再告訴上帝要如何擲骰子了」，史蒂芬·霍金也說：「上帝不但會擲骰子，而且祂有時候還會把它丟在讓你找不到的地方」。

粒子的機率行為代表每一次相同條件的實驗都會得到不同的結果，這一個現象違反了科學實驗的基本假設：「再現性」。愛因斯坦說：「我不能忍受激發態的電子竟然能自由選擇何時跳躍、跳到何處以及跳躍的方向，如果《量子跳躍》是真的話，我寧願當一個補鞋匠或一個賭場的職員也不要當一個物理學家」、「如果量子力學是正確的，那麼這個世界一定是瘋了」。「愛麗絲夢遊記」裏的愛麗絲說：「我不想跟瘋子在ㄧ起！」「那是不可能的！因為在這裏我們每ㄧ個人都是瘋子，我是瘋子，妳也是瘋子」柴郡貓說，「你怎麼知道我是瘋子？」「否則妳就不會來這裏了」。

狄拉克說：「科學家嘗試用大家都能了解的語言說明新的事物，詩人則剛好相反」，但是波耳卻說：「當要說明原子時，我們只能用詩（而不是科學）的語言」、「任何我們稱為《真實》的事物都是由不真實的事物所組成的」、「如果你沒有被量子力學驚嚇到，那麼你並不了解它」。海森堡說：「我記得經常跟波耳討論到深夜，到最後卻總是失望地認為大自然怎麼可能如此荒謬？」、「基本粒子並非真實存在的事物，它們只是機率而已」，大衛·梅爾銘說：「閉嘴！計算！」。

當你不看她時，愛因斯坦的月亮是否還在？「每個人都有屬於自己的一片森林，也許我們從來不曾去過，但它一直在那裡，總會在那裡。迷失的人迷失了，相逢的人會再相逢」（村上春樹）；薛丁格的貓是活的還是死的？「不要以月亮發誓，因為她經常變化」（莎士比亞）：不要以生死賭注，因為她經常變化。