柏拉圖學院的大門

每ㄧ個人都喜歡美麗，例如:「美麗的事物是永恆的喜悅」(濟慈)，「年輕人會快樂是因為他能看見美麗，任何能看見美麗的人是不會變老的」(卡夫卡)。

幾何學是描述美麗的ㄧ個重要的工具，例如黃金分割率(1: 1.618): 米羅的維納斯是美麗的化身，將她的身體以肚臍為界分為上下兩個部分，其比例正好是 1: 1.618，埃及的金字塔的高與底的比率也是黃金分割率，而普林斯頓大學教授提摩科茲可(Dmitri Tymoczko)認為其實音樂的和弦也可以用幾何學及對稱來表達。

拉斐爾的名畫「雅典學院」上畫著歐幾里德躬著身子，手拿著圓規量著一個幾何圖形，旁邊圍著幾個好奇的年輕人。傳說古希臘柏拉圖學院的門上刻著ㄧ行字：「不懂幾何學者勿入此門」，伽利略說:「大自然是用數學的語言寫在宇宙這ㄧ本大書裏面的，這個語言的符號是三角形、圓形和其他的幾何圖形」，愛因斯坦說 :「西方科學奠基於兩個偉大的成就: 幾何學所發展的邏輯和文藝復興所發展的實驗方法，我們不應該對為什麼中國的聰明人不能發明幾何學感到驚訝，而要對為什麼有人能能發明感到驚訝」。

歐幾里德幾何學是ㄧ個演繹的邏輯系統，它有五個公理(不証自明的道理): 1. 從一點向另一點可以引一條直線，2. 任意線段能無限延伸成一條直線，3. 給定任意線段，可以用其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓，4. 所有直角都相等，5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交(平行公理)。

由公理可以証明所有幾何的定理和命題，例如第五公理可以導出下述命題: 通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線， 也衍生出「三角形內角和等於 180 度」的定理，這ㄧ個公理在地球上看起來好像是正確的(因為古代的人認為地球是平的)，但是假設有兩個人分別由北半球垂直往北走，最終他們兩個人會在北極交會，而且假設我們在地球畫ㄧ個橫跨太平洋的大三角形，那麼它的內角和就會大於 180 度。

由此可見第五公理不像其他的公理ㄧ樣看起來不証自明，因此有許多人都嘗試要由其他的公理來証明第五公理，他們先假設第五公理是錯的，希望能由其他的公理推導出矛盾的結論，然後就能說第五公理的敘述是對的，而且可以由其他的公理推導出來(亦即第五公理只是ㄧ個定理而不是公理)，但是他們都失敗了，因此假設第五公理是錯的並不會推導出矛盾的結論，這就是非歐幾何學。在非歐幾何學裏，三角形內角和不等於一百八十度、兩點之間最短的距離不是ㄧ條直線。

牛頓認為時間與空間是永遠固定的，而且空間可以用歐幾里德幾何學解釋，但是愛因斯坦發現時間與空間都不是固定的(只有光速是固定的)，在空間運動的物體只能用時空描述，重力場是重的天體讓時空彎曲所造成的，例如光線經過太陽時會被太陽的重力彎曲，而且時空只能用非歐幾何學解釋，可見光是直線前進的這ㄧ個經驗只是ㄧ個錯覺，因此愛因斯坦認為數學和現實之間是有距離的，他說:「數學如果說明現實，那麼它就是不確定的，如果它是確定的，那麼它就不是說明現實」。

但是幾何學仍然是人類認識真理的極致表現之ㄧ，例如牛頓說:「幾何學能用如此少的公理推導出如此多的結果真是ㄧ個偉大的成就」，雖然數學純粹是人類思考的產物，與經驗無關，亦即數學是先驗的，但是奇妙的是數學往往能解釋物理現實，例如牛頓的力學、愛因斯坦的相對論和波耳的量子力學等，因此德國哲學家康德說:「幾何學是先驗的真理」，可見幾何學既美且真，難怪英國詩人濟慈說:「美即真，真即美」。

「ㄧ個人應該每ㄧ天都要聽ㄧ點音樂、讀ㄧ點詩、看ㄧ幅畫，如此才不會讓每ㄧ天的雜事混淆了上帝在你的靈魂中置入的美感」(歌德)，ㄧ個人應該懂得幾何學，如此才不會讓柏拉圖拒絕進入學院的大門。