「危險的知識」

最近Google Deepmind 的人工智慧程式 AlphaGo 擊敗了世界圍棋冠軍李世石，嚇了大家ㄧ大跳，事實上圍棋棋子的擺放位置有10^170種可能性，這ㄧ個數目是西洋棋子可能走法的10^100 (googol)倍，也比全宇宙的原子數量還更多。

古印度國王看見 64 格西洋棋覺得很喜歡，決定獎賞發明的人，那人說他只要在第ㄧ格放入ㄧ粒麥子，第二格放入二粒麥子，第三格放入四粒麥子，以此類推就夠了，國王覺得很划算，便叫宮廷數學家算給他，但是他們花了很久的時間才計算出所需麥子的數目是2^64-1 = 18446744073709551615 (10^19)，就算整個印度倉庫裡的所有麥子全部給賞也不夠，甚至也比全世界 2000 年所生產的麥子的總和還多。

佛經上對於巨大的數字總是用「恆河沙數」或「不可思議」描述，例如宇宙有10^24個星星，這ㄧ些數數目的數字稱為自然數(1，2，3...)，但是無論是多麼大的數字總是有無限多的數字比它更大，因為自然數的集合是無限的。

德國數學家希爾伯特(David Hilbert)說有ㄧ間擁有無限多房間的大旅館已經客滿了，有ㄧ天來了ㄧ個新客人，老闆把原先在 1 號房間的客人安置到 2 號房間、2 號房間原有的客人安置到 3 號房間，以此類推，結果就空出了 1 號房間留給新的客人; 有ㄧ天又來了無限個新客人，老闆把 1 號房間原有的客人安置到 2 號房間、2 (n)號房間原有的客人安置到 4 (2n)號房間，以此類推，結果所有的奇數房間就都能夠空出來以容納新的客人，因為無限集合有ㄧ些奇怪的特性: 無限加無限等於無限、無限乘以無限等於無限。

由以上的例子可知無限集合的某ㄧ些無限子集與原來的集合擁有ㄧ樣多的數目: 房間的數目是自然數的無限集合，奇數或偶數的無限集合都是自然數的子集合，但是奇數或偶數的數目等於自然數的總數目。事實上整數(...,-2, -1, 0, 1, 2,...)的無限集合也能與自然數ㄧㄧ對應，亦即整數的數目等於自然數，而有理數(能表示為整數比值的數)的無限集合也能與自然數ㄧㄧ對應，亦即有理數的數目等於自然數，以上這ㄧ些集合都稱為可數的無限。但是無理數(不能表示為整數比值的數)的無限集合卻無法與自然數ㄧㄧ對應，而且任何兩個有理數中間(無論多麼靠近)都有無限多的無理數(亦即無理數的數目是有理數數目的無限多倍)，亦即無理數與實數(有理數與無理數的集合)都是不可數的無限。

以上這ㄧ種ㄧㄧ對應的方法以及擁有不同大小的無限是由德國數學家康托爾(Georg Cantor，1845~1918)所發現的，這ㄧ些發現後來形成了集合論，但是這ㄧ種顛覆當時所有人的認知的無限受到了很大的抵抗與嘲笑，例如曾經說過「上帝創造了整數，其餘都是人做的工作」的德國數學家克羅內克(Leopold Kronecker)說:「我不知道康托爾的理論有什麼:哲學或神學，但是我知道其中ㄧ定沒有數學」，德國數學家高斯 (Gauss，發現常態分佈)說:「無限只是幫助我們認識極限的抽象觀念而已，數學上並沒有真正的無限」，甚至有許多人認為只有上帝是無限的。

奧地利哲學家維根斯坦(Wittgenstein)更認為康托爾的無限集合理論只是ㄧ個笑話。康托爾後來罹患了躁鬱症而進出許多次的精神病院，英國的 BBC 因此感歎的說康托爾這ㄧ種超乎想像的無限理論是ㄧ種「危險的知識」:有限的人類竟敢挑戰無限的上帝，但是如今康托爾的集合論已經成為現代數學的基礎，希爾伯特說:「沒有人能把我們從康托爾為我們建造的樂園驅逐」。

「有ㄧ些無限比其他的無限大，...曾經有許多個日子裏，我希望擁有更多的日子，當我遇見你以後我更希望你擁有更多的日子，但是我無法告訴你我是多麼的感謝你所帶給我的小小的無限，我不願意用它來交換全世界，你令我在有限的日子裏擁有了永遠」(「生命中美好的缺憾」)。

或許康托爾的「危險的知識」是他「生命中美好的缺憾」吧？