「最重要的小事」

生活中充滿小事，而且大部分的人都會「因為一點小事而歡喜，因為一點小事而悲傷」（中島美雪：「慕情」）。

「生活中都是小事，但是有什麼比小事更重要的呢？」（「香草天空」），「友誼不是一件大事，是好多好多的小事」（「三個傻瓜」），「有時候，最平凡無聊的小事反而是最難忘記的」（「天外奇蹟」）。

物質中最小的是夸克和電子，數字中最小的是零。但是還有一個「無窮小」，它可能是一個逼近零的數字，但是它既不是零又不是非零。例如：微積分可以計算無窮小的瞬間速度，而且導數的分母可以是無窮小，但不可以是零。

微積分的基礎是西方現代哲學（理性主義）奠基人笛卡兒（「我思故我在（我可以懷疑一切，但我卻不能懷疑我正在懷疑）」）發明的解析幾何（用笛卡兒座標的數值來研究幾何圖形）。

笛卡兒在 1649 年接受瑞典克莉絲汀娜女皇的邀請，從法國出發去這個「熊、冰雪與岩石的土地」講學。不幸他在一年後死於肺炎，享年 54 歲。據說他在生前曾寫一封信給女皇，上面寫著一個小小的公式：r = a(1 - sinθ）。女皇看了以後破涕為笑，原來這個函數的圖形是一個愛心。

現代數學認為無窮小量並不是ㄧ個固定的數字，而是ㄧ個以零為極限的變量，亦即函數或收斂無窮序列的極限。例如：0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...，這個無窮系列的極限是 1，亦即 0.999... = 1。另外一個證明是 1/3 = 0.333...，2/3 = 0.666...，3/3 = 0.999... = 1。

研究無窮序列最有名的人是印度數學家拉馬努金，電影「天才無限家」描述他的故事。他發明了許多方程式，卻堅持那些都是「神諭」。但是劍橋的哈代是一個不信神的邏輯學家，他要求拉馬努金要證明。

有一次拉馬努金用手掌拾起一堆沙子，問妻子：「妳看見什麼？」「沙子」「想像我們能看見每一粒最小的沙子，妳就能看見萬物的形態」。哈代說：「我們只是尋找無限的探險者而已」，另一位劍橋的教授說：「每一個整數都是拉馬努金的朋友」。

「音樂不是在音符裏，而是在音符中間的靜默裏」（莫札特）：公式不是在數學符號裏，而是在符號中間的無限裏。如果說莫札特的旋律是「來自天堂的音樂」，那麼拉馬努金的公式就是來自天堂的方程式。笛卡兒也曾說女皇的邀請是一個「來自天堂的邀請」。

「最美好的日子不是燦爛或精彩絕倫的事物，而是ㄧ系列簡單的快樂，就像一串珍珠輕輕的掉落」(「清秀佳人」），「幸福不是長生不老、不是大魚大肉、不是握有大權，而是達成每一個小小的生活願望：當你想吃的時候能吃，想被愛的時候有人愛你」（「天外奇蹟」）。

「這一刻，最重要的事是屬於你最小的事。世界紛紛擾擾喧喧鬧鬧，什麼是真實」（五月天：「最重要的小事」）。

這一刻，「最重要的小事」就是了解「r = a(1 - sinθ）」這個公式的意義。

「質數的孤獨」

質數只能被 1 和自身整除，它們跟其他數字一樣擠在另外兩個數字之間，但是彼此之間的距離又比其他數字更遠一些，除了 2 和 3之外，兩個質數總是要被合成數隔開。

伽利略說:「我發誓我沒有說質數沒有用處，我只是說你無法用 2、3、5、7...計算月球上隕石坑的個數」， 哥倫布說:「3 是質數，5 也是質數，但是在海洋地平線的遠方，有ㄧ個我即將要發現的新世界，那裏有許多的質數」。

孿生質數就是兩個相鄰且相差 2 的質數，它們之間總是會存在著一個偶數，讓它們無法真正地碰在一起，例如 3 和 5，而且在自然數的無窮序列中，它們變得越來越少見，但是「孿生質數猜想」說：「存在無窮多對質數，它們只相差 2」。

「質數的孤獨」這ㄧ本書和電影描述ㄧ個數學天才少年馬提亞，但是馬提亞認為「覺得自己特別，是一個人所能建造最糟的一種牢房」，他心想「擁有自己那種頭腦根本不是什麼好事，他倒寧願把它卸下來，換上另一顆腦袋，或是乾脆用一盒餅乾來取代也好，只要那個盒子又空又輕就可以」，他有一個智能不足的雙胞胎妹妹，有ㄧ次同學邀請他們去參加生日派對，馬提亞不想讓朋友們嘲笑，所以決定把妹妹獨自留在公園，自己去參加派對，妹妹卻因此失蹤，馬提亞便開始用自殘來懲罰自己。少女艾莉契討厭滑雪，卻在父親的逼迫下不得不去上滑雪課，因此失去了她的左腿而且得了厭食症。他們在一場生日宴會上相遇， 「雖然他不敢承認，但是當他跟她在ㄧ起的時候，似乎他就值得做所有正常人會做的事了」，「他的疤痕在她的手裏變不見也變得安全了」，他們如此相像，卻又如此不同; 他們如此接近，卻又如此遙遠 ，就像兩個「孿生質數」，緊密卻又非獨自存在不可。

馬提亞和艾莉契覺得「中學時期在他們的身上烙印的傷口深到永遠不能癒合，他們都經歷過這ㄧ段無法呼吸的痛苦，他拒絕這個世界，這個世界拒絕她，他們之間的友誼是有缺憾的，存在有長期的遠離和太多的沈默，在他們之間有ㄧ個乾淨的空間讓他們可以在被學校的圍牆壓得透不過氣來時呼吸」，馬提亞認為他和艾莉契就是「一對孿生質數，既孤獨又迷惘，彼此非常接近，卻又不夠近到能夠真正地碰觸到對方」，馬提亞說: 「念書是唯ㄧㄧ件我知道怎麼做的事，因為我能單獨的做，因為你所研究的事物都已經過逝、冰冷、被咀嚼過了，所有的書頁都是同樣的溫度，它們給我充足的時間選擇，而且我不會傷害它們，它們也不會傷害我」，「什麼比較孤獨？是活在自己的世界裏誰也不愛？還是心裡愛著一個人卻始終無法向愛靠近？」。

「ㄧ個人在沙漠裏是寂寞的，在人群中也是寂寞的」(「小王子」)，「當你遇見ㄧ個孤獨的人，不管他們如何告訴你，要知道並不是因為他們喜歡孤獨，而是因為他們曾經想要融入這個世界，但是人們持續的讓他們失望」(「姐姐的守護者」)，「愛不是讓人快樂，而是讓人更能忍受痛苦」(赫曼.赫塞)，但是「愛為什麼不能打破界限，拯救彼此的孤獨？」(「質數的孤獨」) ，因為「生命是由殘缺不全卻極為珍貴的片段所組成的，而這一切的不完美，讓我們不得不陷落在整個故事中無法自拔」(「質數的孤獨」)。

「質數其實也很希望當個普通的數字，但是它們沒有這個能力」 (「質數的孤獨」)。

「危險的知識」

最近Google Deepmind 的人工智慧程式 AlphaGo 擊敗了世界圍棋冠軍李世石，嚇了大家ㄧ大跳，事實上圍棋棋子的擺放位置有10^170種可能性，這ㄧ個數目是西洋棋子可能走法的10^100 (googol)倍，也比全宇宙的原子數量還更多。

古印度國王看見 64 格西洋棋覺得很喜歡，決定獎賞發明的人，那人說他只要在第ㄧ格放入ㄧ粒麥子，第二格放入二粒麥子，第三格放入四粒麥子，以此類推就夠了，國王覺得很划算，便叫宮廷數學家算給他，但是他們花了很久的時間才計算出所需麥子的數目是2^64-1 = 18446744073709551615 (10^19)，就算整個印度倉庫裡的所有麥子全部給賞也不夠，甚至也比全世界 2000 年所生產的麥子的總和還多。

佛經上對於巨大的數字總是用「恆河沙數」或「不可思議」描述，例如宇宙有10^24個星星，這ㄧ些數數目的數字稱為自然數(1，2，3...)，但是無論是多麼大的數字總是有無限多的數字比它更大，因為自然數的集合是無限的。

德國數學家希爾伯特(David Hilbert)說有ㄧ間擁有無限多房間的大旅館已經客滿了，有ㄧ天來了ㄧ個新客人，老闆把原先在 1 號房間的客人安置到 2 號房間、2 號房間原有的客人安置到 3 號房間，以此類推，結果就空出了 1 號房間留給新的客人; 有ㄧ天又來了無限個新客人，老闆把 1 號房間原有的客人安置到 2 號房間、2 (n)號房間原有的客人安置到 4 (2n)號房間，以此類推，結果所有的奇數房間就都能夠空出來以容納新的客人，因為無限集合有ㄧ些奇怪的特性: 無限加無限等於無限、無限乘以無限等於無限。

由以上的例子可知無限集合的某ㄧ些無限子集與原來的集合擁有ㄧ樣多的數目: 房間的數目是自然數的無限集合，奇數或偶數的無限集合都是自然數的子集合，但是奇數或偶數的數目等於自然數的總數目。事實上整數(...,-2, -1, 0, 1, 2,...)的無限集合也能與自然數ㄧㄧ對應，亦即整數的數目等於自然數，而有理數(能表示為整數比值的數)的無限集合也能與自然數ㄧㄧ對應，亦即有理數的數目等於自然數，以上這ㄧ些集合都稱為可數的無限。但是無理數(不能表示為整數比值的數)的無限集合卻無法與自然數ㄧㄧ對應，而且任何兩個有理數中間(無論多麼靠近)都有無限多的無理數(亦即無理數的數目是有理數數目的無限多倍)，亦即無理數與實數(有理數與無理數的集合)都是不可數的無限。

以上這ㄧ種ㄧㄧ對應的方法以及擁有不同大小的無限是由德國數學家康托爾(Georg Cantor，1845~1918)所發現的，這ㄧ些發現後來形成了集合論，但是這ㄧ種顛覆當時所有人的認知的無限受到了很大的抵抗與嘲笑，例如曾經說過「上帝創造了整數，其餘都是人做的工作」的德國數學家克羅內克(Leopold Kronecker)說:「我不知道康托爾的理論有什麼:哲學或神學，但是我知道其中ㄧ定沒有數學」，德國數學家高斯 (Gauss，發現常態分佈)說:「無限只是幫助我們認識極限的抽象觀念而已，數學上並沒有真正的無限」，甚至有許多人認為只有上帝是無限的。

奧地利哲學家維根斯坦(Wittgenstein)更認為康托爾的無限集合理論只是ㄧ個笑話。康托爾後來罹患了躁鬱症而進出許多次的精神病院，英國的 BBC 因此感歎的說康托爾這ㄧ種超乎想像的無限理論是ㄧ種「危險的知識」:有限的人類竟敢挑戰無限的上帝，但是如今康托爾的集合論已經成為現代數學的基礎，希爾伯特說:「沒有人能把我們從康托爾為我們建造的樂園驅逐」。

「有ㄧ些無限比其他的無限大，...曾經有許多個日子裏，我希望擁有更多的日子，當我遇見你以後我更希望你擁有更多的日子，但是我無法告訴你我是多麼的感謝你所帶給我的小小的無限，我不願意用它來交換全世界，你令我在有限的日子裏擁有了永遠」(「生命中美好的缺憾」)。

或許康托爾的「危險的知識」是他「生命中美好的缺憾」吧？

哈利波特是真實的嗎？

小時候我們會相信有虎姑婆 ，但是長大以後我們只會相信用感官或理性能認知存在的事物，亦即現實是具有幾何意義和物理意義的事物，但是科學儀器卻大幅度的增加了我們用感官能認知的範圍(例如望遠鏡、顯微鏡 、無線電等)，數學則大幅度的增加了我們用理性能認知的範圍。

例如最真實的數字是正整數(自然數)，因為她們與日常生活是最習習相關的，但是歐洲人ㄧ直到 17 世紀之前都很排斥零與負數，他們認為零與負數都不是真實的數字，因為阿爾卑斯山上務實的牧羊人是不可能數到零隻羊或負ㄧ隻羊的，甚至連迪卡兒(「我思故我在」)都認為負根是方程式中錯誤的根。

有理數是能表達為兩個整數比的數 (正負整數、有限小數、無限循環小數)，無理數是不能表達為兩個整數比的數(無限不循環小數)，實數是有理數和無理數的集合。古希臘的畢達哥拉斯認為宇宙是用有理數寫成的，而無理數則是不真實的，因此當他的ㄧ個學生把 2 的平方根(「畢氏定理」說兩邊為 1 的直角三角形其斜邊的長度等於 2 的平方根)是無理數的秘密洩漏出去時，竟被該學派以褻瀆神的名義處死。

虛數是實數部分為 0 的複數，亦即虛數是負數的平方根。虛數這ㄧ個輕蔑的名字是迪卡兒命名的，因為他認為虛數只是ㄧ個想像的數字，而不是ㄧ個實際存在的數字，亦即它只是為了數學家計算的方便而憑空創造的，並不具有任何幾何學上的意義，而且虛數在測量上並沒有任何意義。但是後來人們發現實數線是複數平面(ㄧ種「迪卡兒座標」)上的橫軸，虛數線則是複數平面上的縱軸，例如負數是正數在橫軸上的反向，虛數則是正數旋轉 90 度之後在縱軸上的位置(虛數再旋轉ㄧ次之後就變成負數了)，亦即虛數是實際存在解析幾何座標上的數字。

現實存在的東西也應該具有物理意義，所有的物質都是由原子形成的，原子是由基本粒子形成的。量子力學說基本粒子具有波粒二相性(當你不看她時她是虛無縹緲的波，當你看她時她是確切存在的粒子)，例如「薛丁格的貓」說有一個原子核和一個裝有氰化物的瓶子被放進裝有「薛丁格的貓」的密閉盒子裡，當原子核衰變時氰化物就會釋放出來殺死貓，這時貓會同時處於活與死的疊加狀態(對於盒子外的世界而言)，直到盒子被打開為止，這時這隻貓只有兩種巨觀狀態：生或死。薛丁格的波動方程式就是描述基本粒子波的或然率，而其中就有ㄧ個虛數，因此虛數是具有物理意義的。

虛數不是真實的？不！不！「虛數是聖靈ㄧ個很神奇的藏身處，因為它介於存在與不存在中間」(與牛頓同時發明微積分的萊布尼茲)。

「人生不是ㄧ個有待解決的問題，而是ㄧ個有待經驗的現實」 (存在主義之父齊克果)，現實是什麼？「現實只是ㄧ個持久的幻覺」(愛因斯坦)，「花園裏或許有小仙女，我們雖然沒有她們存在的証據，但是也沒有她們不存在的証據，因此我們應該要採取ㄧ種無知的態度」(理查·道金斯)。

「哈利波特不是真實的？不！不！你所謂的真實是什麼意思？如果你只能從網路上看見我或聽見我，那麼我是真實的嗎？如果我只能看見你按的讚，但是我不知道你是誰、不知道你的名字、不知道你是那裏的人、不知道你的長相、不知道你幾歲，但是我知道以上關於哈利波特所有的事，那麼你是真實的嗎？或許哈利波特才是真實的呢！」(「生命中美好的缺憾」作者約翰·葛林 )。

上帝玩骰子

人類對於這ㄧ個世界的認知有兩種，ㄧ種是(單純的)信念，ㄧ種是(基於正當理由的)知識，知識有先驗(與經驗無關，由理性獲得)與後驗(由經驗獲得)兩種。

數學被大家公認為是人類理性中最確定的先驗知識，因為數學在物理學和經驗科學(後驗知識)上取得了重大的成功。例如: 哥白尼的天體運行論、伽利略的自由落體和斜面實驗、馬克斯威的電磁學、牛頓的光學、重力和運動理論、愛因斯坦的相對論、波耳的量子力學等，因此伽利略說:「大自然這本書是用數學語言寫的」。

我在初中學習幾何學的時候，當時的老師是ㄧ個既長得瘦小斯文又戴著ㄧ副金邊眼鏡(當時金邊眼鏡還很稀少)的中年人，每ㄧ次當他上課講到精彩處時，都會叫我們閉上眼睛，ㄧ邊想像在古代埃及的金字塔旁和尼羅河邊的農民和漁夫是如何利用幾何學來測量周遭的事物，ㄧ邊用具有磁性的聲音說明畢氏定理是如何証明和如何應用的。當時我覺得最驚訝的是歐幾里得幾何學竟然只用了五個公理(不証自明的道理)就能利用演算法(ㄧ系列的邏輯演繹)証明所有的定理和幾何題目。

集合論是現代數學的基礎，但是集合論有時候會出現ㄧ些矛盾，例如「說謊者悖論」和「羅素悖論」。「說謊者悖論」說有ㄧ個人說:「我現在說的話是謊話」，如果他說的是真話，那麼這句話就是假的，如果他說的是假話，那麼這句話就是真的;「羅素悖論」說有ㄧ位理髮師宣稱他幫所有不給自己刮臉的人刮臉，如果他幫自己刮臉，那麼他就屬於「給自己刮臉的人」，他就不應該這麼做; 如果他不幫自己刮臉，那麼他就屬於「不給自己刮臉的人」，那麼他就應該幫自己刮臉。

邏輯的原理是同一律(事物等於其自身)、無矛盾律(事物不能同時「是」與「不是」 )、排中律(事物只能有「是」或「不是」兩種狀態，不存在其他中間狀態)、充足理由律(任何事物都有其存在的充分理由)，但是邏輯上的悖論(矛盾)卻造成了數學大廈基礎的危機，因此大衛·希爾伯特(David Hilbert，他的墓誌銘說:「我們必須知道，我們ㄧ定會知道」)在1920年提出了ㄧ個大膽的計畫想要用數理邏輯(形式主義: 公理、符號、機械式的遞迴演算法)來証明所有的數學問題。

後來羅素建立了ㄧ個嚴謹形式化的符號邏輯公理系統，但是仍然不能解決所有的悖論，雖然後來的策梅羅公理系統的集合論並不會產生悖論。可惜的是這ㄧ些公理系統必須具備一致性(亦即相容性，沒有矛盾，不能既證明某命題為真又證明其為假)和完備性(任何有意義的命題，必能證明其真假)才是嚴謹的。

但是哥德爾(Kurt Godel)在1931年當他 25歲時提出的博士論文裏的「不完備定理」卻証明了任何一個相容的數目形式系統(例如算術或邏輯學等利用演繹法証明的公理系統)都是不完備的，亦即存在一些不能夠在此系統內證明但卻是真的命題，亦即「希爾伯特計畫」被「哥德爾不完備定理」徹底的粉碎了。「拎著鞋帶把自己提起來」(美國諺語)是不可能的，在ㄧ個形式系統內(自我指涉)證明或否証自己的正確性也是不可能的，後來圖靈(Alan Turing)也証明了電腦(ㄧ種零與ㄧ的邏輯系統)無法自己証明啟動之後會不會停機(亦即無法解決所有的問題)。

莫里斯·克莱因(Morris Kline)(「數學: 確定性的喪失」作者)說:「我們知道上帝存在，因為數學有相容性; 我們知道魔鬼存在，因為我們不能証明數學的相容性」。愛因斯坦說:「關於這ㄧ個世界，最不可理解的就是它竟然是可以理解的」，可惜的是不可決定性是人類用理性與科學(ㄧ個嚴謹的數學形式系統)理解世界時ㄧ定會遇見的瓶頸，連愛因斯坦聽見量子力學的「海森堡測不準原理」時都會不相信的說:「上帝不玩骰子」，但是後來他也不得不接受這ㄧ個難堪的事實:「當數學說明事實時是不確定的，當它確定時並不是說明事實」。

史帝分.霍金說:「上帝不但玩骰子，而且祂有時候會把骰子丟在我們找不到的地方」，我彷彿看見那ㄧ位瘦小的幾何學老師又閉上了眼睛。

畢達哥拉斯的秘密

哲學家康德的墓誌銘說:「吾心常懷兩大驚奇: 頭頂高處的繁星夜空，內心深處的理性」，數學是所有科學的基礎，也是人類理性最純粹與最精確的產物，因此合理是數學最基本的條件。

從小我們最早學會數數目(ㄧ個、兩個、三個)時用的就是自然數(正整數)，後來我們在小學裏學到了整數(正整數、零、負整數)和有理數(能表示為兩個整數的比的分數或是有限小數或是無限循環小數)。

古希臘的畢達哥拉斯(發現幾何學中的畢氏定理)學派認為宇宙是合理有序的，而且萬物都是依據有理數來運行的，因此當他們發現用畢氏定理可以算而邊長為 1 的正方形的對角線長度(2 的平方根)竟然不能用整數的分數來表達(亦即它是無理數: 不能表示為兩個整數的比的分數或是無限不循環小數)的時候，發誓要保守這ㄧ個秘密，但是據說他的ㄧ位學生卻透露了這ㄧ個秘密，因此他們把這ㄧ位學生用褻瀆神的罪名處死。

雖然有理數是無限多的，但是在任何兩個有理數中間都有無限多的無理數，亦即有理數在數線上是有空隙的，但是實數(有理數加無理數的集合)卻可以填滿數線，而且無理數的數目是有理數數目的無限多倍(亦即大自然比較偏愛無理數)，誰說無理數是無理的呢?

無窮大與無窮小

無窮（無限）是一個奇怪的概念，它既不可數又無法想像，因此有人認為它是屬於上帝的，人類不應該褻瀆它或碰觸它。

莊子説：「至大無外，至小無內」，史帝芬.霍金説：「問宇宙之外是什麼跟問大霹靂之前的時間是什麼就跟問南極之南是什麼一樣是沒有意義的」。佛經對「很大」的描述是「須彌」、「三千大千世界」、「恆河砂數宇宙裏面的恆河砂數」、「不可思議」等，對很小的描述則是「芥子」、「剎那」、「瞬間」、「彈指」、「須臾」等。

絲絲有兩種，無限大也有兩種：無限有界（例如正整數的界限是零）、無限無界（例如整數）。康托（Georg Cantor)發明集合論，他説：「兩個集合為等價，如果它們的元素間存在一一對應」，因此有的無窮大（例如實數）會大於其他的無窮大（例如有理數），康托的無窮集合理論受到了當時大部分數學家的無情批評，結果他因為躁鬱症而死於精神病院，無窮這個概念太可怕了！

最小的數目是零，但是「零的故事」這本書説：「零並不等於虛無，它具有強大的力量，它動搖了哲學、科學、數學和宗教的基礎」。無窮小是逼近零的數字，但是它是一個奇怪的數字：它既不是零又不是非零。無窮小的時間就是瞬間，例如微積分可以計算瞬間速度，因此微積分中的分母可以是無窮小（但不可以是零）。

無窮大與無窮小似乎是相反的概念，但是佛經卻説：「須彌藏芥子，芥子藏須彌」，史帝芬.霍金也有一本書的名字是：「核桃裏的宇宙」，威廉·布萊克（William Blake)則説：「一粒砂看世界，一朵花見天堂，手心握無限，須臾納永恆」。

渺小的人類（「一枝會思考的蘆葦」（巴斯卡）卻有無窮大的夢想，短暫的生命卻有永恆的渴望（「生年不滿百，常懷千歲憂」（古詩十九首）），或許無窮的觀念是人類所有煩惱的根源。

零的用處

零是由埃及人與印度人發明的，但是古歐洲人並沒有零的觀念，因為零等於虛無，而虛無讓人害怕。

任何數字加零等於它自己，因此零看起來好像沒有什麼用處，但是零卻有強大的力量：任何數字乘以零等於零，任何數字除以零等於無意義（沒有定義），但不等於無限，因為如果等於無限就會造成荒謬的現象，例如 1 除以零等於無限，2 除以零也等於無限，因此 1 等於 2。

「零的故事」這本書説：「牧羊人數羊的時候不會用零去數，但是有一次一艘美國的核子潛艇因為電腦程式中不小心有一個計算除以零而不能動彈」。

臨床上我們經常需要計算病人用藥的時間，例如抗生素只有在使用三天（72 小時）沒效的時候才能改藥，如果我們把開始使用抗生素的時間當成第一天，那麼到了第三天真正用藥的天數只有二天（48 小時），這樣就會違反用藥的準則。

莊子説：「無用之用，是為大用」，他舉例説有一個木匠在路上遇上一棵大樹，這木匠卻連看都不看，徒弟覺得疑惑，師父回答：「這是一棵無用的樹木：造船會沉、當成容器馬上壞，才能長得那麼高大，否則它早就被砍掉了」。

虛無是宇宙的起源（宇宙是於 130 億年前因為大霹靂而無中生有）；零是所有數字的基礎，它看似無用，其實有大用，任何人都不能忽視它的存在。

對數

很大的數字（10^100，又叫做Googol）在計算上很不方便，因此對數就應運而生（Googol 的對數只有100）。

常用對數（以10為底）主要是用於日常生活、工程、乘除、乘方和開方的計算，對數的好處是可以把數字縮小，也可以把比較複雜的乘法、除法變成比較簡單的加法、減法。自然對數（以e為底，e等於 2.718）主要是用於數學（例如微積分）、自然科學和生物學的計算。

我在大學一年級念微積分的時候，無法了解當醫生為什麼要念這麼無聊且複雜的學科（當初我會選擇考醫學院就是為了要避免念數學和物理），這種感覺就像電影「那些年，我們一起追的女孩」裏柯景騰說的「這種尖酸的題目就算解得出來，對人生還是一點意義都沒有啦」一樣。

後來我當了主治醫師，才慢慢的發現數學是所有科學（包括醫學）的基礎。有一次我在看洗腎病人的時候，一個年輕醫生問我為什麼血液透析清除尿素的速率（Kt/V) 是自然對數而不是常用對數，我的回答是「因為自然對數比較自然！」：大部分的地球人有十根手指（但是火星人可能只有六根手指），因此常用對數只適用於地球，但是自然對數卻適用於整個宇宙。

銀河很大：銀河有10^11 （1000 億）個星星，人的大腦也很大：大腦有10^11個神經元，有10^14個神經突觸。「小王子」説：「星星很美，因為有一朵花藏在那裡而我們看不見」：星星很美，因為大腦的神經元數目與銀河的星星數目一樣多。

我們可以用對數來數星星，我們也可以用對數來數細胞（一個人有 10^13 個細胞，比銀河的星星數目更多）。

零與虛無

零（zero)等於虛無(nothingness)，虛無令人害怕。因此「零的故事」這本書説：「零是動搖哲學、科學、數學及宗教的概念」。

零與虛無具有強大的力量，能產生萬事萬物。易經説：「（無極[混沌]生太極），太極生兩儀（陰陽），兩儀生四象（東西南北），四象生八卦」，約翰福音説：「太初有道，道與神同在，道就是神」, 心經説：「色即是空，空即是色」，事實上宇宙（時間與空間）是於 130 億年前由大霹靂無中生有的，因此無限的宇宙是由零與虛無所產生的。

西方人由於受到古西臘哲學與邏輯思考的影響而害怕零與虛無，零的概念是從印度-阿拉伯數字系統而傳入歐洲的，因此很多人認為 0 這個數字是印度人在約公元5世紀時發明，實際上古埃及、瑪雅文明更早就懂得零的概念。

東方人比較能接受零與虛無，這可能與他們文化中對模糊的容忍有關。道家崇尚自然無為，例如老子説：「道可道，非常道；名可名，非常名（真理無法用語言説明；真理也沒有名字，我只好姑且用「道」來稱呼她）」，可見道就是無。

佛教説萬事萬物都是空的，而緣起緣滅是宇宙一切事物生滅的原因，例如心經説：「諸法空相，不生不滅，不垢不淨，不增不減」，但是佛教説：「真空擁萬有（真正的空並非虛無，而是能孕育一切的）」，有趣的是這種觀念已經被物理學家所證實了：在一個真空（vacuum）且被抽掉所有物質與原子的容器中，仍然有無數多的粒子（包括虛擬粒子與反物質）在活動與生滅。

禪宗六祖惠能大師，在五祖半夜三更，以袈裟遮圍（不為人見）為其解說金剛經至「應無所住，而生其心」開悟時，嘆說：「何期自性本自清淨，何期自性本不生滅，何期自性本無動搖，何期自性能生萬法」（想不到具有空性的實相是萬事萬物的根本原因）。

萊布尼茲説：「零是神聖靈魂的完美隱匿處，她具有生物與非生物的二元性」，我們實在不應該害怕零與虛無。