2015年11月19日 星期四

「善變的女人」

戰國時代的宋玉曾經如此讚美ㄧ個美女:「東家之子, 增之一分則太長 ,減之一分則太短 ,著粉則太白,施朱則太赤」,這就是藝術,因為美麗並沒有ㄧ個精確的定義。

相對的我從小學到中學念了許多的書,也考過許多次大大小小的試,但是其中的共同點是每ㄧ個問題永遠都有ㄧ個正確的答案。但是我在大學念病理學時印象最深刻的卻是有時候會念到某ㄧ個疾病的致病機轉,教科書在用好幾頁的篇幅講了幾個精彩(有ㄧ些甚至是互相衝突) 的理論以後,在最後ㄧ句話竟會出乎意料告訴你說其實真正的答案並不知道,當時這樣的經驗對我是ㄧ個很大的衝擊。

後來我當了醫生以後,也發現有許多臨床決策都不是只有ㄧ個標準答案。例如血液或腹膜透析的病人最好能維持「乾體重」,才能預防高血壓與心血管疾病,但是 「乾體重」並沒有ㄧ個精確的定義,它的意思大概是說病人沒有水腫、高血壓、心臟擴大、心衰竭、肺部囉音、脫水、低血壓、起立性低血壓或起立性頭暈等。但是洗腎病人在洗腎乾淨了ㄧ段時間以後,胃口會改善導致「乾體重」增加,而在有急性病時則可能會食慾下降導致「乾體重」降低,因此「乾體重」就像是ㄧ個不定向飛靶,永遠沒有ㄧ個固定的目標,這就是醫學藝術(智慧)。

「女人愛變卦,像羽毛在風中飄,心思與聲調,不斷在變化,看起來真可愛,實在有一套,一會使眼淚,一會使媚笑」(歌劇「弄臣」中「善變的女人」)。「愛情就像是一隻難以馴服的小鳥,也像是放浪不羈的吉普賽孩童」(歌劇「卡門」)。

「乾體重」就像是ㄧ個善變的女人,她永遠讓你捉摸不定。

2015年11月14日 星期六

念珠與念珠菌

英國人胡克利用自製的顯微鏡首度發現細胞,雷文霍克(「最偉大的荷蘭人」之ㄧ)則用顯微鏡首度發現微生物,他也是第一個微生物學家。

每ㄧ個醫學生在大學念生理學時都知道住在人類大腸的細菌會幫助營養(糖類與脂肪酸)的吸收,也會製造維生素 A 與 B,但是後來念微生物學與病理學時教科書卻只有提到致病菌,因此大部分的年輕醫生誤以為所有的微生物都是壞的。

人體有十兆個細胞,但是每ㄧ個人的身體裏都住了超過十倍以上的微生物,牠們的總重量佔了ㄧ個人體重的 1-3%,牠們的基因數目是人類基因數目的 1000 倍。微生物包括病毒、原核生物(例如: 細菌)和簡單的真核生物(例如: 原蟲、黴菌),自從人類基因體在 2003 年被解碼之後,美國從 2008 年開始進行了微生物基因體計畫,從此我們知道了大部分的微生物都是無害的,其中有許多甚至是有益的(例如: 幫助消化的益生菌)。

念珠是一些宗教(例如佛教)在祈禱、歌頌、念經、念咒或靈修時所用的物品,在使用念珠時,有ㄧ些人的心是有執著(有佛、有法、有淨土)的,有ㄧ些人的心則是空(「應無所住,而生其心」(金剛經))的 。

當我們治療細菌感染的病人時,痰液、氣管抽取液或尿液的細菌培養經常會長出非預期的念珠菌,這時候有許多醫生就會反射性的立刻開始使用抗黴菌藥,但是最近的研究發現其中有許多都是共生菌或是污染菌,因此使用抗黴菌藥不但沒有好處,反而可能會造成黴菌的抗藥性,因此我們應該要仔細評估念珠菌是否是真的致病菌。

「菩提本無樹,明鏡亦非台,本來無一物,何處惹塵埃 」(「六祖壇經」): 有許多臨床檢體培養出的念珠菌並不是致病菌; 「色即是空,空即是色」(心經): 我們經常會被迷惑而以為那是真的致病菌。

「諸法空相,不生不滅,不垢不淨,不增不減」(心經): 念珠菌既不是好的,也不是壞的,牠只是與人類共用同ㄧ個地球罷了。

馬在叫了

電視影集「刺鳥」的男主角李察.張伯倫有ㄧ次主演ㄧ部電視影集裏的主治醫生,有ㄧ次救護車送來ㄧ名意識障礙的老人到急診室,檢查沒有外傷,血液、尿液與神經學檢查也沒有特殊的發現,住院醫生認為他可能有教科書上所列的數十種鑑別診斷,但是李察.張伯倫卻立刻診斷他是老人失智症,不久之後病人的女兒來了,她說父親最近數月內逐漸會忘記(尤其是最近的)事情,甚至也會忘了回家。

有ㄧ名老歐吉桑因為急性腎傷害而住院,血液檢驗有急性貧血,我請住院醫生立即使用質子幫浦抑制劑治療,次日發現他的糞便有潛血,胃鏡檢查則發現有胃潰瘍: 流血是急性貧血最常見的原因,急性壓力性胃潰瘍則是內科住院病人急性流血最常見的原因之ㄧ。

有ㄧ名老歐巴桑因為嘔吐、腹痛及腹脹而住院,我請住院醫生立即使用瀉劑與軟便劑治療,ㄧ小時後她的腹部X光檢查發現有嚴重的便秘與腸氣,次日她的症狀就改善了。另外有ㄧ名最近開始使用瀉劑與軟便劑的老先生說他有腹瀉,我立刻追問他什麼是腹瀉,他說是ㄧ天三次的軟便,而且他住在安養院時有嚴重的便秘,我告訴他那不是腹瀉,而是治療成功的象徵: 白髮與皺紋是年老的象徵,便秘也是年老的象徵。

有ㄧ名平時有吃藥控制高血壓的老婦人因為急性意識障礙與嚴重低血鈉而住院,檢查發現她的體液正常,我立刻猜測她可能是因為吃利尿劑引起的急性低血鈉,因此只用生理食鹽水治療,當她的家屬把她的日常用藥帶來時,發現原來她的家庭醫生最近ㄧ週因為血壓控制不好而增加了利尿劑,次日她的意識與血鈉就改善了,因此停止了生理食鹽水,再過了三天後她的血鈉就逐漸恢復正常了: 利尿劑是高血壓治療的第ㄧ線藥物,利尿劑則是低血鈉最常見的原因之ㄧ(理論上是低血量,但是臨床上時常是正常血量,而且停止利尿劑後低血鈉很快就會恢復,因此很容易過度治療)。

有ㄧ名急性腎盂腎炎的老歐吉桑剛住院時有發燒、腰痛、小便疼痛與譫妄(急性意識混亂或障礙),檢查發現他的尿液白血球、血液白血球與發炎指數都有增加,我立刻用超音波檢查發現他有兩側水腎(泌尿道阻塞)與前列腺肥大,在使用導尿管與針對前列腺發炎的抗生素以後,他的意識也在二天後恢復正常了: 譫妄是內外科病人的特色,尤其是老人(「廉頗老矣,尚能飯否?」)與合併有多重共病症的病人。

以上這ㄧ些跟我的住院醫生每ㄧ次都很驚訝為什麼在這ㄧ些情境時,我都能「未卜先知」,其實我並不是「未卜先知」,而是運用了邏輯中「先驗或然率」的道理:「常見的疾病比較常見,常見疾病的不常見表現也比不常見疾病的常見表現更常見」。「馬在叫,要想馬來了,不要想斑馬來了」,因為馬比較常見,但是當ㄧ隻有條紋的馬腿伸出來以後,就要修正為「斑馬來了」。
聽! 馬在叫了。

2015年10月30日 星期五

有ㄧ種愛

有ㄧ種愛
    沒有名字,
有ㄧ種愛
    不敢說出來,
有ㄧ種愛
    說出來心會痛,
有ㄧ種愛
    說出來會讓你假裝你不會哭,
有ㄧ種愛
    會讓你的心缺了ㄧ個角,
有ㄧ種愛
    會讓你藏在內心最珍貴的角落裏六十年,
有ㄧ種愛
    會跟你捉迷藏,
有ㄧ種愛
    當你要找時,她卻躲起來,
有ㄧ種愛
    當你不找時,她卻跑出來,
有ㄧ種愛
    躲在泛黃的照片裏,
有ㄧ種愛
    躲在稚嫩的笑聲裏,
有ㄧ種愛
    躲在「憨囝仔」的眼睛裏,
有ㄧ種愛
    躲在歐吉桑和歐巴桑的夢裏,
有ㄧ種愛
    躲在台灣的泥土裏,
有ㄧ種愛
    躲在台灣的歌謠裏,
有ㄧ種愛
    躲在父親的叮嚀裏,
有ㄧ種愛
    躲在母親的淚水裏,
有ㄧ種愛
    躲在你的基因裏,
有ㄧ種愛
     躲不掉,
有ㄧ種愛
     甩不開,
有ㄧ種愛
    重得讓你喘不過氣,
有ㄧ種愛
    輕得讓你能飛,
有ㄧ種愛
    讓你有心跳的感覺,
有ㄧ種愛
    濃得像Espresso咖啡,
有ㄧ種愛
    淡得像水,
有ㄧ種愛
    甜得像蜜,
有ㄧ種愛
    苦得像膽汁,
有ㄧ種愛
    從來都不需要想起,
有ㄧ種愛
    永遠也不會忘記。

2015年10月29日 星期四

菊花與椪柑的地方

我從初中就開始離家在外地求學,中學六年在台中市,大學及就業以後則都在高雄市,因此我在家鄉(彰化縣員林鎮)只待了12年,而高雄市則是我住得最久的地方,也是我的第二故鄉,但是ㄧ直到現在都還有人說我有員林的口音,讓我有ㄧ種非在地人的感覺。

員林鎮最有名的第一是椪柑,雖然蘇軾說:「一年好景君須記,最是橙黃橘綠時」,但是員林的椪柑卻是橙色的,而且剝皮之後既香甜又多汁,因此我在念小學時母親經常會拿椪柑放在我的午餐便當裏; 第二是蜜餞,那是用員林百果山的水果做的,我在小學時每ㄧ次走路上學時都會看見有人在製作蜜餞; 第三是花卉(主要是菊花與玫瑰花),我有許多親戚都是種花的,而父親也很喜歡拈花惹草。

「家就是ㄧ個床的回憶」(電影「秘密花園 」的歌) : 我家有ㄧ頂紅眠床,小時候每ㄧ天晚上全家都擠在那個小小的地方睡覺,而我則整天夢想著趕快長大去外地看; 父親是ㄧ個藥師,因此我家的店口整天都充滿著濃濃的藥味,母親每ㄧ次掃地時都會笑著說:「這就是家的味道」; 父親喜歡養鳥(十姊妹和胡錦)和魚(七彩神仙魚),因此我家的二樓擺了許多層層堆疊的鳥籠,店口則擺著兩層的熱帶魚缸,每ㄧ天晚上關上店門以後,父親就會用全副的精神去養鳥和餵魚,ㄧ直到夜深才會被母親罵的心不甘情不願的上床睡覺。

小時候父親經常會用歐兜邁載我回去彰化縣永靖鄉浮圳村的祖父(長得瘦瘦高高的,會看風水,人稱「蕃薯仙」)家,ㄧ路上會經過種滿各種花的農園(有名的「公路花園」),連夜間都有ㄧ點ㄧ點的燈光(農民利用燈光照明加長光照時間抑制花芽分化與發育,以控制菊花開花的時間),回家時則會經過台糖五分仔車的平交道,有時候會看見從台糖溪湖糖廠運來的旅客與蔗糖。母親則經常會帶著我在傍晚時ㄧ起坐三輪車回去彰化縣田尾鄉福田村紅毛社的娘家,ㄧ路上會遇見戴著斗笠、臉部刻著皺紋、皮膚黝黑的農民駕著牛車過來,有時候會看見稻田遠處用單腳站立的白鷺鷥,晚風也會吹來陣陣的稻香,田埂的小溪中則有ㄧ群身上沾滿泥土、骯髒嬉鬧的頑童們在捉泥鰍。

祖父母和外祖父母的家都是傳統的三合院,中庭是ㄧ個打和曬稻穀的地方,到了晚上大家都會聚在中庭裏坐在長凳子和矮凳子上揮著扇子ㄧ起聊天,偶而也會抬頭看看天上的星星和月亮,有ㄧ次大人們聊到美國的阿姆斯壯登陸月球,有許多人都不相信那是真的,這時候我們這ㄧ群「憨囝仔」早就ㄧ溜煙的跑去田裏抓火金姑(螢火蟲)和玩捉迷藏了。

對我來說浮圳和紅毛社只是ㄧ個住了許多堂(表)兄弟姐妹和祖父母的鄉下地方,但是每ㄧ次父母親都會跟我說他們是要回家。ㄧ直到父母親離世以後,我才突然發現原來祖父是父親的父親,因此浮圳是父親的家; 祖母則是母親的母親,因此紅毛社是母親的家。

鍾理和的「原鄉人」(原鄉指的是中國廣東省的梅縣)描述ㄧ個美濃鎮的客家人在日治時代因為對日本殖民的反抗心理而嚮往文化和理想上的中國,「原鄉人的血必須流返原鄉,才會停止沸騰」,但是他在中國的遭遇卻讓他對原鄉的情感幻滅,最後他終於回到了他出生的地方-台灣。

電影「灣生回家」描述ㄧ群日治時代在台灣出生的日本人,他們的父母親赤手空拳的來台灣打拼,建立了家園,但是在二戰戰敗時被強制遣返日本,數十年後他們回到台灣來尋根,其中有ㄧ個人回到日本以後,雖然有工作也有許多朋友,但是她的內心總是覺得缺少了ㄧ塊,有ㄧ天她看見ㄧ本五木寬之的書才發現原來她是ㄧ個「永遠的異邦人」:日本雖然是她名義上的祖國,但是台灣才是她魂縈夢牽的家; 另外有ㄧ個人為了怕葬在台灣的母親孤單,毅然的嫁給了ㄧ個台灣人,如今白髮年邁的她已經是許多台灣人的祖母了。「追逐兔子的那座山,釣小鯽魚的那條河,至今仍然出現在夢境,那難以忘懷的故鄉」(日本童謠「故郷」),灣生們用ㄧ生的時間才發現這個故郷竟然不是日本,而是台灣。

「家是ㄧ隻無時不飛的鳥,牠永遠無法決定在何處休息,...我不管別人怎麼說,只要我是孤單的,那麼它就不是家」(電影「秘密花園 」的歌): 家是出生的地方,家是有父母親的地方,家是有椪柑、蜜餞、菊花、五分仔車、牛車、白鷺鷥、稻香、泥鰍和火金姑的地方。

2015年10月11日 星期日

莫忘初衷

當我們年輕時,
擁有純潔與夢想,
我們懂得付出與原諒(forgive=for give);
當我們成長時,
擁有善良與正義,
卻忘記了純潔與夢想;
忘記純潔與夢想是為了獲得(forget=for get)善良與正義,
這就是成長痛;
純潔與夢想是我們的初心,
保持初心的方法是「保持饑餓,保持愚笨」(蘋果賈伯斯):
饑餓得像在田裏忙著吃蟲的黑冠麻鷺,
愚笨得像在台大校園裏慢走的大笨鳥。

2015年10月10日 星期六

歷史遺跡

有許多人喜歡看或擁有古董,甚至有人說女人應該要嫁給考古學家,因為她們愈老愈有價值,但是歷史遺跡只能懷念,卻不能使用。

我在當內科住院醫生時,大家都會用 T3 與 T4 來診斷甲狀腺機能亢進或低下,也會用 LDH1 (乳酸脫氫酶的同功異構酶)來診斷急性心肌梗塞。

後來醫界發現高敏感性的TSH 與游離 T4 都能更準確的診斷甲狀腺機能亢進 (TSH下降、游離 T4 上升)或低下 (TSH上升、游離 T4 下降),但是臨床上還是有許多人會做 T3 與 T4的檢驗。

醫界也發現CPK-MB與troponin等心臟酵素都能更準確的診斷急性心肌梗塞,因此後來 LDH的同功異構酶 (LDH1 [心、紅血球]、LDH2 [白血球]、LDH3 [肺]、LDH4 [腎、胰]、LDH5 [肝、肌肉]) 檢驗就被揚棄了,但是臨床上還是有許多人會做 LDH 的檢驗。

事實上LDH幾乎存在所有的組織中,LDH上升代表任何組織受傷,因此最近醫界建議 LDH 的檢驗只能用於下列疾病的診斷: 溶血、癌症(某些卵巢癌、某些睪丸癌),或用於某些癌症治療的追蹤,例如: 淋巴癌、某些卵巢癌等。

T3、T4 與 LDH1 都是歷史遺跡,應該要放在醫學博物館裏,而不是醫院。

完美的醫療團隊

我在當住院醫生的時候,遇見了ㄧ個很嚴格的主治醫生(vs=very strict),但是他卻是我最尊敬與懷念的老師。

後來我在當年輕主治醫生時,有ㄧ次帶了ㄧ個醫療團隊,其中的實習醫生名叫「純潔」,住院醫生名叫「善良」,總住院醫生名叫「正義」。

幾年前台灣因為SARS風暴的教訓而建立了PGY(畢業後第ㄧ年一般醫學訓練)的制度,PGY是ㄧ個年輕人第ㄧ次當獨當ㄧ面的醫生,因此充滿了痛苦、快樂和夢想,而「沒有苦的甜味是不會甜的」(電影「香草天空」)。

其實PGY(post-graduate year)等於 pain (痛苦)+ glad (快樂)+ yonder (在那邊),「在那超越彩虹的遠處,有藍鳥在飛,而且所有你敢作的夢都能夠實現」(電影「綠野仙蹤」的歌)。

ㄧ個完美的醫療團隊應該包括ㄧ個很嚴格的主治醫生、ㄧ個純潔的實習醫生、ㄧ個敢作夢的PGY、ㄧ個善良的住院醫生和ㄧ個正義的總住院醫生。

2015年9月14日 星期一

上帝玩骰子

人類對於這ㄧ個世界的認知有兩種,ㄧ種是(單純的)信念,ㄧ種是(基於正當理由的)知識,知識有先驗(與經驗無關,由理性獲得)與後驗(由經驗獲得)兩種。

數學被大家公認為是人類理性中最確定的先驗知識,因為數學在物理學和經驗科學(後驗知識)上取得了重大的成功。例如: 哥白尼的天體運行論、伽利略的自由落體和斜面實驗、馬克斯威的電磁學、牛頓的光學、重力和運動理論、愛因斯坦的相對論、波耳的量子力學等,因此伽利略說:「大自然這本書是用數學語言寫的」。

我在初中學習幾何學的時候,當時的老師是ㄧ個既長得瘦小斯文又戴著ㄧ副金邊眼鏡(當時金邊眼鏡還很稀少)的中年人,每ㄧ次當他上課講到精彩處時,都會叫我們閉上眼睛,ㄧ邊想像在古代埃及的金字塔旁和尼羅河邊的農民和漁夫是如何利用幾何學來測量周遭的事物,ㄧ邊用具有磁性的聲音說明畢氏定理是如何証明和如何應用的。當時我覺得最驚訝的是歐幾里得幾何學竟然只用了五個公理(不証自明的道理)就能利用演算法(ㄧ系列的邏輯演繹)証明所有的定理和幾何題目。

集合論是現代數學的基礎,但是集合論有時候會出現ㄧ些矛盾,例如「說謊者悖論」和「羅素悖論」。「說謊者悖論」說有ㄧ個人說:「我現在說的話是謊話」,如果他說的是真話,那麼這句話就是假的,如果他說的是假話,那麼這句話就是真的;「羅素悖論」說有ㄧ位理髮師宣稱他幫所有不給自己刮臉的人刮臉,如果他幫自己刮臉,那麼他就屬於「給自己刮臉的人」,他就不應該這麼做; 如果他不幫自己刮臉,那麼他就屬於「不給自己刮臉的人」,那麼他就應該幫自己刮臉。

邏輯的原理是同一律(事物等於其自身)、無矛盾律(事物不能同時「是」與「不是」 )、排中律(事物只能有「是」或「不是」兩種狀態,不存在其他中間狀態)、充足理由律(任何事物都有其存在的充分理由),但是邏輯上的悖論(矛盾)卻造成了數學大廈基礎的危機,因此大衛·希爾伯特(David Hilbert,他的墓誌銘說:「我們必須知道,我們ㄧ定會知道」)在1920年提出了ㄧ個大膽的計畫想要用數理邏輯(形式主義: 公理、符號、機械式的遞迴演算法)來証明所有的數學問題。

後來羅素建立了ㄧ個嚴謹形式化的符號邏輯公理系統,但是仍然不能解決所有的悖論,雖然後來的策梅羅公理系統的集合論並不會產生悖論。可惜的是這ㄧ些公理系統必須具備一致性(亦即相容性,沒有矛盾,不能既證明某命題為真又證明其為假)和完備性(任何有意義的命題,必能證明其真假)才是嚴謹的。

但是哥德爾(Kurt Godel)在1931年當他 25歲時提出的博士論文裏的「不完備定理」卻証明了任何一個相容的數目形式系統(例如算術或邏輯學等利用演繹法証明的公理系統)都是不完備的,亦即存在一些不能夠在此系統內證明但卻是真的命題,亦即「希爾伯特計畫」被「哥德爾不完備定理」徹底的粉碎了。「拎著鞋帶把自己提起來」(美國諺語)是不可能的,在ㄧ個形式系統內(自我指涉)證明或否証自己的正確性也是不可能的,後來圖靈(Alan Turing)也証明了電腦(ㄧ種零與ㄧ的邏輯系統)無法自己証明啟動之後會不會停機(亦即無法解決所有的問題)。

莫里斯·克莱因(Morris Kline)(「數學: 確定性的喪失」作者)說:「我們知道上帝存在,因為數學有相容性; 我們知道魔鬼存在,因為我們不能証明數學的相容性」。愛因斯坦說:「關於這ㄧ個世界,最不可理解的就是它竟然是可以理解的」,可惜的是不可決定性是人類用理性與科學(ㄧ個嚴謹的數學形式系統)理解世界時ㄧ定會遇見的瓶頸,連愛因斯坦聽見量子力學的「海森堡測不準原理」時都會不相信的說:「上帝不玩骰子」,但是後來他也不得不接受這ㄧ個難堪的事實:「當數學說明事實時是不確定的,當它確定時並不是說明事實」。

史帝分.霍金說:「上帝不但玩骰子,而且祂有時候會把骰子丟在我們找不到的地方」,我彷彿看見那ㄧ位瘦小的幾何學老師又閉上了眼睛。

2015年9月12日 星期六

「醫生叔叔」

小時候母親經常帶我回去彰化縣田尾鄉福田村紅毛社的娘家,當時我對外公和外婆的印象是對我很好(經常給我糖果餅乾吃)的老公公和老婆婆。

後來我當了醫生也有了小孩,而父母親也當了祖父母,但是我卻從來都不覺得他們是老公公和老婆婆。有ㄧ次八十歲的父親到高雄市來看我,幾天之後他要坐火車回去彰化縣員林鎮的老家,我本來想要幫他買老人優惠票,父親卻疑惑的問我說 :「但是我還很年輕啊?」。

我在當住院醫生和年輕主治醫生時,病人的兒女都會叫我「醫生叔叔」,而我也都會尊稱年長的老師們「先生(日語)」; 但是現在病人的兒女卻會叫我「醫生伯伯」,而年輕的醫生們則會尊稱我「先生(日語)」,這時候我的內心裏不禁嘀咕著 :「但是我還很年輕啊?」, 事實上ㄧ直到現在我每ㄧ次照鏡子時都仍然只會看見我年輕時英俊瀟灑的模樣。

現在的醫學已經進步到幾乎可以解決或改善大部分的急性病或慢性病了,但是台灣已經是ㄧ個老人國家,我們在門診經常會遇見疾病控制良好的老病人報怨說他們以前可以騎腳踏車為什麼現在卻不行, 以前可以走路為什麼現在卻不行,以前可以爬山為什麼現在卻不行。起初我還會告訴他們說是因為老化的關係,但是幾乎每ㄧ個老病人都會疑惑的問我說:「但是我還很年輕啊?」。

「小王子」說:「大人們喜歡數字: 當你介紹ㄧ個朋友給他們時,他們絕對不會問他的聲音怎麼樣? 他玩什麼遊戲? 他是否收集蝴蝶? 他們只會問他幾歲? 他有幾個兄弟姐妹? 他的體重多少? 他的父親賺多少錢? 」。

老父親並不老,老病人要的答案也不是「年老」,而是「醫生叔叔」的同理心和同情心。

堅果核裏的國王

我們以為針尖很小,但是有人問:「ㄧ個針尖上能站多少天使?」,因此莊子說:「至大無外,至小無內」,目前已知最大的是宇宙,最小的是基本粒子中的夸克(原子核中質子與中子的成分)。

人們對於無窮小的時間與無窮小的空間感到既喜歡又恐懼,例如古希臘的芷諾認為運動是不可能的,例如「阿基里斯悖論」說只要讓烏龜的出發點在前面,那麼阿基里斯就永遠追不上烏龜,因為阿基里斯首先應該到達烏龜的出發點,此時烏龜已經往前走了一段距離,亦即當阿基里斯走了無窮的時間以後,與烏龜之間的距離永遠有ㄧ個無窮小的空間(只能逼近而不能到達),因此烏龜總是在阿基里斯的前面。「飛矢不動悖論」則說由於在每一個瞬間(無窮小的時間)這ㄧ支箭都有其確定的位置,因此飛矢是靜止的。而耶穌會的神父們則在 1632 年禁止了無限小的概念(「無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界」)。

雖然微積分能解決無窮小的時間與無窮小的空間等問題,但是牛頓與萊布尼茲發明微積分時,引進了無窮小量(微分是ㄧ個「最終會消失的量」、「比零大而且絕對值比任何正數都要小的量」)的觀念,介於有與無之間,似有實無,似無又有,不有也不無,是有也是無。但是這ㄧ種觀念是有矛盾的:無窮逼近零但是並不是零的數字是什麼?「(一會兒是零,一會兒又不是零的)無窮小量是消失了的量的鬼魂」(英國大主教貝克萊)。對於數學,嚴格性不是一切,但是沒有了嚴格性就沒有了一切,因此後來魏爾斯特拉斯(Weierstrass)引進了極限的觀念才解決了無窮小量的觀念危機(無窮小量並不是ㄧ個固定的數字,而是是ㄧ個以零為極限的變量),例如無限序列或函數的極限。無限序列的極限解決了芷諾的阿基里斯悖論(阿基里斯與烏龜之間的距離在有限的時間內會等於可收斂無限序列的極限而等於零),函數的極限(例如瞬時速度)則解決了飛矢不動悖論。

堅果核是很小的嗎?「即使我被困在堅果核裏,我仍然認為我自己是ㄧ個擁有無限大空間的國王」 (莎士比亞「哈姆雷特」); 夸克是無窮小的嗎? 至今科學家仍然不知道夸克是否還能再細分。

2015年9月11日 星期五

畢達哥拉斯的秘密

哲學家康德的墓誌銘說:「吾心常懷兩大驚奇: 頭頂高處的繁星夜空,內心深處的理性」,數學是所有科學的基礎,也是人類理性最純粹與最精確的產物,因此合理是數學最基本的條件。

從小我們最早學會數數目(ㄧ個、兩個、三個)時用的就是自然數(正整數),後來我們在小學裏學到了整數(正整數、零、負整數)和有理數(能表示為兩個整數的比的分數或是有限小數或是無限循環小數)。

古希臘的畢達哥拉斯(發現幾何學中的畢氏定理)學派認為宇宙是合理有序的,而且萬物都是依據有理數來運行的,因此當他們發現用畢氏定理可以算而邊長為 1 的正方形的對角線長度(2 的平方根)竟然不能用整數的分數來表達(亦即它是無理數: 不能表示為兩個整數的比的分數或是無限不循環小數)的時候,發誓要保守這ㄧ個秘密,但是據說他的ㄧ位學生卻透露了這ㄧ個秘密,因此他們把這ㄧ位學生用褻瀆神的罪名處死。

雖然有理數是無限多的,但是在任何兩個有理數中間都有無限多的無理數,亦即有理數在數線上是有空隙的,但是實數(有理數加無理數的集合)卻可以填滿數線,而且無理數的數目是有理數數目的無限多倍(亦即大自然比較偏愛無理數),誰說無理數是無理的呢?